3o ACADÉMIE DES SCIENCES, 



rélénienl linéaire de Tespace étant 



ds'=ll\du]-i- MU/iiï-^Hldtil, 



à l'aide des coordonnées curvilignes définies par le système orthogonal con- 

 sidéré. 



Tout d'abord les égalités (i) prouvent que les systèmes orthogonaux 

 que nous cherchons et que je désignerai par il jouissent de la propriété de 

 rester des systèmes Cl après une transformation de Combescure. 



Cela étant, il s'agit d'abord de déterminer les p,/^ à l'aide deS équations (i) 

 et des neuf équations connues que vérifient les p,vt pour tout système 

 orthogonal. .Te transcris ici deux de ces équations : 



(B) —^. „..,,. 



(B') ^ + ^+,3„,3,3=o; 



il y a six équations du type (B) et trois équations du type (B'). Pour inté- 

 grer les douze équations (i), (B) et (B'), je donne à (i) à l'aide de (B) la 

 forme 



(2) 



TT ' H3r 



3. —i^-A, 



où il n'y a que trois dérivées essentiellement différentes. Je suppose que les 

 ^,7. sont toutes différentes de zéro. Je suis conduit alors à considérer deux 

 cas, suivant que les dérivées précédentes sont nulles ou différentes de zéro. 

 I. Dans le premier cas, un calcul simple montre qu'on peut poser 



^ ,3„=//P,, S,:,= AH,. 33, = /(P3; 

 ^■"^ ' ,3i.= /'Q„ !3,,= /,Q,, P3,= /iQ3; 



h, P,, Q, étant des fonctions inconnues, la première pouvant dépendre 

 des trois variables u,, u.,, Wj, les autres ne dépendant pas de ?//, et il faudra 

 déterminer ces fonctions de manière que les (B) et (B') soient vérifiées. 

 L'étude des équations obtenues montre qu'il faut décomposer ce cas I de 

 notre problème en deux autres, suivant que P, PoPa — Qi Q2Q:! = o ou :^ o. 

 a. Dans le cas PiPoP^ — QiQoQ:, = o on trouve, après des calculs 

 assez longs, pour /?, P,, Q, les valeurs suivantes: 



m\c,c,C3 



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