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('•qualions renconlrées aussi par M. Darboux dans un problème difféivnt 

 {Leçons sur les systèmes orthogonaux, t. I, p. 228). En utilisant la méthode 

 donnée par M. Darboux, j'ai trouvé, dans le cas actuel, les résultats 

 suivants : En faisant abstraction d'une transformation de Conibescure, il 

 n'y a comme système O dans ce cas que le système orthogonal imaginaire de 

 Combescure (voir Darboux, Sysl. orth., p. 272) et le système formé par les 

 quadriques homofocales. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions analytiques uniformes à 

 singularités discontinues non isolées. Note ( ') de M. Arxaud De.v.ioy, pré- 

 sentée par M. Painlevé. 



Dans la séance du 6 décembre dernier, M. Pompéiu a communicpK' 

 divers résultats relatifs aux fonctions uniformes possédant un ensemljle 

 parfait discontinu de singularités, l'osons 



l:zz fl^{z)clz, i=lv(u)fl,>. F_,{z)= f F(z)dz. 



C désigne un contour quelconque évitant les points singuliers C; F désigne 

 un contour absolument arbitraire pouvant contenir des points "l. Knfin, en 

 Z|, et z, V{z) est supposée holomorphe. 



\I. Pompéiu envisage celles de ces fonctions F telles que toutes les inté- 

 grales 1 sont nulles. Ceci équivaut évidemment à supposer l'uniformité de 

 F_,(z). Car le prolongement analytique de F_, se fait en prenant tous les 

 chemins d'intégration possibles évitant les points 'Ç. Donc, dire que I e^t 

 toujours nul si le contour C évite '(, c'est dire que F„, est uniforme. Doue, 

 les fonctions étudiées par M. Pompéiu sont simplement des déiwées de fonc- 

 tions uniformes possédant un ensemble parfait discontinu de singularités, 

 l'ensemble E des points '(. Les propriétés de ces dérivées ont été énoncées 

 déjà, en particulier dans mes Notes des 26 juillet et 9 août derniers. Si 

 l'ensemble E a une longueur finie, non nulle, F ne peut pas être bornée 

 (c étant la distance de s à l'ensemble E, il serait peut-être possible de mon- 

 trer que Fo ne peut pas être infiniment petit au voisinage de E). Si E a une 

 aire nulle et une longueur infinie, j'admets volontiers ( ])arce que je crois que 



(') Présentée dans la séance du ■y.'j décembre 1909. 



