SÉANCE DU ') JANVIER 1910. 33 



la sinuosité d'un ensemble d'aire nulle est nulle) que F ne peut pas èlre 

 bornée (ni, sans doute, partout infiniment petite relativement à logâ~' ). 



Mais, où je ne juge plus possible d'accepter sans réserves l'opinion de 

 M. Pompéiu, qui fut celle de tous les auteurs, et la mienne (quand je 

 croyais que deux points, infiniment voisins à vol d'oiseau, l'étaient aussi, et 

 au même ordre près, par un chemin extérieur à l'ensemble), c'est dans le 

 cas où l'aire de E n'est pas nulle. Cette opinion s'exprime ainsi : 



Si F(^)est une fonction partout continue, partout analytique, sauf sur E, 

 il est impossible que F soil, eu deliors de E, la dérivée d'une fonction uni- 

 forme. 



II est d'abord indiscutable que si la nullité de toutes les intégrales I en- 

 traine celle des intégrales .1. prises le long d'un contour F pouvant contenir 

 des points "C, comme l'intégrale qui donne F_,(-) se trouve être indé- 

 pendante du chemin d'intégration, absolument arbitraire, comme le 

 nombre F_, (::)est une fonction admettant en tout point pour dérivée F( c ) 

 (à cause de la continuité de l'' ), alors, cette fonction de z admet dans tout 

 le plan une dérivée (continue, par surcroit). Elle est holomorphe partout. 

 Il y a contradiction. 



Mais je ne crois pas, malgré l'affirmation de M. Pompéiu, qu'il soil 

 possible de montrer que la nullité de tous les I entraîne celle de tous les J, 

 quel que soit l'ensemble E, même si la sinuosité est infinie. Au contraire, si 

 la sinuosité de E est nulle, il est possible de trouver une famille de contours C 

 tendant vers F, et tels que la longueur de C tende vers celle de Y. Alors, 

 1 = entraîne J = o; F ne peut pas être continue. Pareillement, si la si- 

 nuosité est finie. On peut alors supposer que la longueur de C reste finie, 

 quand C tend vers F. F ne jieut pas être continue. Il serait intéressant de 

 connaître le raisonnement par lequel M. Pompéiu a pu s'affranchir de la 

 considération de la sinuosité. Tant que la discontinuité nécessaire de F 

 n'aura pas été démontrée, les résultats suivants que j'ai établis garderont 

 leur intérêt. 



Supposons que nous entourions les points de E par une famille ç„ d'un 

 certain nombre n de contours c„. Soient /„, r,, la longueur et la plus grande 

 dimension de l'un des contours r„. Supposons que, n croissant indéfiniment, 

 la famille o„ tende vers E. Soit S" la somme des produits /„ r'I relatifs à une 

 même famille -p^. Le développement en fractions rationnelles d'une fonction 

 F|=tl», singulière sur E, uniforme, et de ses dérivées, montre que, les ç;„ 

 étant convenablement choisis : 



1° Si S" reste borné, quand n croit indéfiniment ( il y aurait lieu de 



c. I!., 1910, i" Semestre. (T. |.",0, .N ' 1.) 5 



