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on vé'iifie qu'on a 



(8) /'„ = T,,„ - S,,, _, + T,,,_, - S,.„__, + . . . , 



où Ton poursuit la série jusqu'à ce que le premier indice ne surpasse pas le 

 second; on peut donc calculer de proche en proche/?,,, </„, r„. Ces expres- 

 sions ne renferment que les dérivées de ^ par rapport à t^; q^ jusqu'à 

 l'ordre 2// — i; /„ jusqu'à l'ordre in. 



De ré(|uation (2) et de celles qui s'en déduisent par des dillerentiations 

 par rapport à v, on obtient les valeurs suivantes des dérivées de o prises une 

 fois par rapport à u et un nombre quelconque de fois par i'a|)port à (^ : 



, , ,) ,hj . ô d^o do 



(9) '\ 7^= 5111 œ, — r- ^ COSCO -T-^! •••• 



^•" âii Or ■ du dv^ ' de 



Si maintenant j'ai une expression (jui ne contient que les dérivées de a» 

 par rapport à v, la dérivée de cette expression par rapport à u sera, en 

 tenant compte des équations (9), de la forme 



A coscû -I- B si 11 



A et B ne contenant que les dérivées de f par rapport à v. 

 Je dis que si l'on opère sur/j„ et c/„ on aura identiquement 



, , dp,, . dr„ 



(10) —, — =^/„sinai, — — =r(7„cos7. 



du du ' ' : . . 



En elfet, les deux membres d'une équation (10) deviennent égaux si 

 est solution de l'équation (2); si les deux membres n'étaient pas iden- 

 tiques, on en conclurait que toute solution de l'équation (2) est solution 

 d'une équation de la forme (10), ce qui est évidemment impossible. 



(îela posé, j'arrive au théorème fondamental de celle Aote. 



Thkouéme. — Si a,, a.^, ..., a„ sont des constantes arbitraires, il existe des 

 fonctions cp qui satisfont aux deux équations 



i sino = rt, r, + rto/ , + ... + rt„/'„, 

 (11) • • fjl^ 



f du 



■ a^rji + (i.,t/..-h . . .+ a„y„. 



On volt loul de suite que ces fonctions ç sont solulionsde l'équation (2). 

 La première de ces équations ne contient pas u; elle est d'ordre 2». Pour 

 montrer (|ue le système (1 1) a des solutions, j'opère ainsi : je prends la 

 seconde équation et celles qui s'en déduisent par des dérivations successives 



