82 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



OÙ {/„„ F/), {/,u, fs ) désignent les parenthèses de Poisson, prises par rapport 

 aux variables .r, /^ ( ' ). 



On peut énoncer ce théorème de la manière suivante : .SV l'expression 

 différentielle 



se réduit à la forme canonique 



Pi dj^ + . . . + /j„ dj-,^, 



on a toujours les relations (i) (^ ). 



On peut généraliser ce théorème et le compléter de la manière suivante : 



Si r expression différentielle 



dX, - P, ,/X , — ...— P„, d\,„ , 



où \„, \,(i^ I, 2, . . ., m) sont indépendants, se réduit à la forme cano- 

 nique 



rj{dz — /', f/.t'i — . . . — /'„ dx,,) ( //( \i n), 



les variables X^, X,, P,(i'^::; 1,2,..., m), exprimées en fonction des ;,, 



(') A savoir 





(■-) s. Lie a démontré {Math. An/i., B. XI, § 1, p. 46", Salz 2) que si 



dV H- F, f//| + . . . + F,, df,. = pi du-, +. . .-h pn dx„, 

 et si 



(/■•/') = (« = 2,3, ...,/•), 



on a entre autres relations 



(/„F,) = ,, (/,,F,,)=o (A- = 2, ...,«), 



(/ 



■'>-Zd\dx, ûps dp s d-isJ' 



On voit que ce dernier théorème n'est pas identique avec celui de M. \V . Slekloff, 

 contrairement à l'affirmation de M. N, SaL\ly]\oiY (Comptes rendus, 3o août 1909). 



