SÉANCE DU lO JANVIER 1910. 83 



.r, p, satisfont aux équations 



(Xo. P,)=:V-, A),(X„,X).)+pP, («•=:,., m), 



1 



(P^., p,) =:V>,;j,A):;,.(X-,, x„) (/.-, 1 = 1. 2, . . ., m), 



A),,= -T^ + P'-W*' ^>!J = A),/, Apt,— Ap./,A)., («, À, // — I, 2, . . ., w) 



et 





Si les variables P,(«'=i, 2, ..., w), exprimées en fonction des X„, 

 X,(«"= 1,2, . . . , m) dépendent encore de in — m des variables x, p^ que 

 nous appelons a-,, yj,, on a encore 



2'(Xa,X,)^^=o, 2'(^'.->''')j7;=o (A- = 0,1,2,..., m). 



On voit aisément que ces formules représentent la généralisation de 

 celles de la transformation de contact, qui s'obtiennent dan.s la supposi- 

 tion m=^ n. 



On démontre ces relations par la méthode connue de M. G. Darboux, 

 employée dans la théorie de la transformation de contact, en parlant des 

 relations 



rfX„— P, rfX, — . . . — P„, dX,„=p{dz—pi dx,-~.. . — p„ dx„), 



ôXo — P, ôX| — . . . — P„, oX,„= p{oz — yj, ôj-, — . . . — „ pèx„), 



où ùz, o.r,, ùpi, dz, dx,, dpj(i= 1,2, . . . , n) sont deu.x systèmes quel- 

 conques des accroissements des valeurs des variables z, x,^ p,. Il s'ensuit que 



2' (o'P/ ^X, - dPi oX, ) — dp i ô; -^jfj dxj \ + opl dz -^jpj dx, \ 

 = p 7 / ( o/jy dxj — dpj oxj ) . 



