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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur iinlègrale de Stieltjes et sur (es opérations 

 fonctionnelles linéaires. Note de M. Henri Lkbesgue, présentée par 

 M. Emile Picard. 



On désigne sous le nom ^'intégrale de Stieltjes., et l'on représente par le 



symbole / f[iv) do(.{oc), l'opération fonctionnelle faisant correspondre à 



/(x) un nombre défini de la façon suivante. Divisons l'intervalle (a, h) en 

 un nombre fini d'intervalles partiels (j?,, it',+ i), dans chacun d'eux prenons 



un nombre ^,, formons la somme ^ /(^,) [a(a7,vi) — <^(^i)]i puis passons 



à la limite en faisant tendre vers zéro le maximum des longueurs Xi+i — Xi. 



Pour qu'il y ait intégrale de Stieltjes il faut que ce passage à la limite 

 ait un sens; il en est ainsi comme l'a prouvé Stieltjes(')dans le cas où, /(a?) 

 étant continue, a(.'r) est une fonction croissante et par suite aussi lorsque, 

 f{x) étant continue, a (x) est à variation bornée. .D'ailleurs, cette condition 

 que «(a*) soit à variation bornée est indispensable si l'on veut que /(a;) 

 puisse être continue dans (r/, b) mais non soumise à d'autres conditions; on 

 le voit en faisant/(.r) se; i . 



Je me bornerai à la considération de ce cas; y continue, a à variation 

 bornée. C'est le seul qui a été, je crois, utilisé jusqu'ici. 



A l'occasion d'un résullat très intéressant donné récemment par 

 M. F. Riesz (-), je voudrais indiquer les liens étroits qu'il y a entre les 

 intégrales de Stieltjes et les intégrales de fonctions sommables. 



Soit i'(a?) la variation totale de «(a?) dans (a, x). Faisons l'inversion de 

 cette fonction en convenant, si v{x) est constante et de valeur v^ dans tout 

 un intervalle ( /, //?), de désigner para?(('„) l'une seulement des valeurs de 

 (/, m); la plus petite /, par exemple. 



Si i'(x') est discontinue pour x ^ x^, -r(i') n'est pas définie dans 

 l'intervalle [t'(a-|, — o), t'(.r'oH- o)J, sauf pour la valeur ('(.r„); convenons 

 que dans tout cet intervalle on aura x(i') = x^. 



Alors a|.r(f)| a une valeur constante oi.(Xf,) dans \v(x„-- o), ('(a"o + o)] 

 et tend vers des valeurs déterminées a(j7„ — o), «.(x^-h o), quand i> tend 

 vers les extrémités de cet inlervalle par valeurs extérieures à cet intervalle. 



(') Reclierclies sur les fractions continues {Annales de la Faculté des Sciences 

 de Toulouse, iSg/J). 



(') Sur les opérations fonctionnelles linéaires ( Comptes rendus, 29 novenil)re 1909). 



