SÉANCE DU lO JANVIER 19IO. 87 



Modilions a[a7 (»>)] dans l'intervalle considéré, de façon qu'elle devienne 

 linéaire dans chacun des intervalles [i>(x„ — o ), ç(a\)\, \v(x„-+- g), ('(a^'o )]; 

 nous obtenons ainsi une fonction ^^(v) continue et à variation totale égale 

 à i' dans (o, t'). Or, il est évident qu'on a 



HA-^)]=f A^r)d^(x)=J /[^U')]^.3(r); 



seulement celte fois /|^((')| n'est plus nécessairement continue, mais 

 peut avoir des points de discontinuité de première espèce; par contre, p(r) 

 est continue et l'intégrale de Stieltjes existe. 



Or, i3(»') est l'intégrale indélinie d'une fonction somniablc 6((') ne 

 prenant que les valeurs + i et — i, et l'on voit de suite que A[/(ic)] est 

 égale à 



l'intégrale étant une intégrale de fonction sommahle. D'ailleurs, quand 

 a(j7) est donnée, -v^v) et 6(r) sont entièrement déterminées, sauf au plus 

 pour un ensemble de valeurs de r de mesure nulle. 



La transformation d'une intégrale de Stieltjes en intégrale de fonction 

 sommable peut se faire de bien d'autres manières, parfois très simplement, 

 par exemple, quand cil{x) est une intégrale indéfinie. Pour le cas général, en 

 considérant y.(x) comme la différence de deux fonctions partout croissantes, 

 on voit (\yi étant donnée ly.ix) à variation bornée, on peut trouver des nombres 

 K,, Ko e/ des fonctions continues non décroissantes Xf(^t), x.,(^t) telles que l'on 

 ait 



A[/(^)]=y/(^)^«(-^)=j[' \K,/[x,{l)]-K,f[x,(t)]\dt; 



on arrive cette fois à une intégrale ordinaire de fonction continue. On a de 

 plus 



Xt{o) --= x,{o) = a, .^,(1) = cToli) = *• 



L'intérêt que peuvent présenter ces transformations apparaîtra bien si 

 nous nous en servons pour traduire l'énoncé donné par M. Riesz. 



M. F. Riesz a prouvé que les intégrales de Stieltjes qui viennent d'être 

 considérées sont les seules opérations fonctionnelles qui fassent correspondre 

 un nombre A [/(^r)] à toute fonction f{x) continue dans (a, b) et qui 

 soient linéaires; c'est-à-dire telles que l'égalité/ = ^J], dans laquelle le 



