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second inciiihrc est une série uniformément convergente, entraine Féga- 

 lité A (/) = I A (/;■). ( )n a donc 



HA^^n = f /{■<■) da(x)=j /[a-(l)]l(l)^ll = f ]KJlr,(t)]-KJ[.v,(t)]\de. 



Le second membre exprime le résultat de M. Riesz ; a (x) est une fonc- 

 tion à variation bornée presque entièrement déterminée par A [y"(^)]- 

 Dans le troisième membre, ar (/) est une fonction non décroissante variant 

 de a à b quand t varie de o à M, X (t) est une fonction sommable ; si l'on 

 prend A (/) = zh i, M est déterminé; x(t) et A(/)le sont presque par- 

 tout. Les notations du quatrième membre sont précisées plus liant. 



Parmi les 'avantages des deux dernières formes on peut noter, outre les 

 énoncés à vérifier qu'elles suggèrent pour le cas des fonctions / h ]ilusieurs 

 variables, le fait de permettre le prolongement de l'opération A (/), sup- 

 posée connue pour les fonctions continues, à tout le champ des fonctions 

 sommables bornées. On définit, en somme, ainsi l'intégrale de Stieltjespoury 

 sommablo bornée, a à variation bornée; ce qu'il parait difficile de faire sans 

 changement de variable, (^uant au prolongement obtenu, qui est évidem- 

 ment unique, on peut le caractériser en disant que c'est le seul avec lequel 

 on a le droit d'appliquer l'opération A terme à terme aux deux membres de 

 l'égalitéy"^ Sy,-, la série du second membre étant uniformément conver- 

 gente ou convergente et à termes positifs. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les formes quadratiques définies à 

 une infinité de i^ariahles. Note de M. J. Le Roux, présentée par 

 M. Emile Picard. 



I. Soit /(a;) une fonction d'un nombre fini ou infini de variables. Con- 

 sidérons pour les valeurs de ces variables une suite indéfinie d'ensembles 

 E,, Ej, ..., dont chacun contienne le précédent; supposons que la fonction/ 

 soit définie dans tous les ensembles considérés et admette dans chacun 

 d'eux, \\„. un minimum m,,. On a alors nécessairement 



Par conséquent, si la fonction est bornée intérieurement, les nombres /«„ 

 tendent vers une limite déterminée quand n croit indéfiniment. 



(Jlelle remar(jue évidente, et la proposition corrélative pour le maximum. 



