SÉANCE DU lO JANVIER 1910. 89 



sont susceptibles d'applications nombreuses et intéressantes dans la théorie 

 des fonctions d'une infinité de variables, où l'on a souvent à considérer des 

 ensembles de plus en plus étendus et dont chacun contient tous les pré- 

 cédents. 



Elles s'appliquent, par exemple, à quelques-unes des propositions de 

 M. Hilbert, relatives aux formes quadratiques infinies, et permettent d'ap- 

 porter aux démonstrations des simplifications notables, tout en complétant 

 les résultats par la suppression de restrictions inutiles. 



L'application que nous allons en donner conduit à des résultats remar- 

 quables par leur grande généralité. 



2. Considérons une forme quadratique réelle à une infinité de va- 

 riables a-,, .v.,, . • . , 



/(.f) = laa--r,-r/,. (a,/, — a,,,). 



Si l'on attribue la valeur zéru à toutes les variables dont l'indice sur- 

 passe 71, il reste une forme quadratique à n variables que nous désignons 

 pary„(a-). Notre seule hypothèse sera quey„(a7) soit toujours définie positive 

 quel que soit n. Si nous faisons a;, = 1, les autres variables restant arbi- 

 traires, la formey„ admet un minimum positif m,„. 



D'après ce qui précède les nombres positifs non croissants m,„ tendent 

 vers une limite [jt.,, positive ou nulle, cjuand n croît indéfiniment. Nous 

 appellerons [jl, le module de la forme/(;c) relativement à la variable .r,. 

 A chaque variable a:, correspond de même un module [Ji,. Si tous les mo- 

 dules sont différents de zéro, on peut dire que la forme proposée /"(.r) est 

 elle-même dey/nie. Il n'est pas nécessaire, pour cela, qu'il existe pour les 

 modules une limite inférieure différente de zéro. 



Un calcul très simple donne l'expression de la différence positive 



Soit A le discriminant do la formey], ; nous représenterons les mineurs 

 de A par la notation A^;^.; , les indices inférieurs correspondant aux lignes, 

 les supérieurs aux colonnes supprimées. 



On a 



A A« 



'"'■"= A;' '"'■"- = A[^' 

 d'où 



(') 



AA|.',;^AJA',; __ (a;')2 



a: A!-;; ai a; 



C. a., 1910, I" Semestre. (T. 100, N° 2.) 



