SÉANCE DU 17 JANVIER 1910. l57 



l'énoncé de ce théorème dépendent d'une fonction a' qui n'est définie qu'à 

 une constante additive près. Pour plus de netteté, nous désignerons par (M,) 

 celle des surfaces considérées qui correspond à une valeur arbitraire, mais 

 déterminée, a'j de a' et par (M') la surface qui correspond à la valeur d'^-hw 

 de a'; la variation du paramètre «' donnera toutes les surfaces analogues 

 à (M,). Désignons par M' le point d'intersection de la surface (M') avec le 

 cercle (F) qui passe par les points M^, M,, Mj. Le rapport anliarmonique 



des points M^, M', Mo, M, a pour valeur -^ Par suite, quatre sur- 

 faces (M') coupent le cercle (F) en quatre points dont le rapport anharmo- 

 nique est constant. 



Les surfaces (Mo) et ( M3) correspondent à (M, ) dans des transformations 

 de Ribaucour; donc, en vertu du théorème de M. Blanchi, il existe une Infi- 

 nité simple de surfaces qui correspondent à (M„) et à (M,) dans des trans- 

 formations de Ribaucour. On les obtient comme il suit. Envisageons la 

 surface (M) décrite par un point M situé sur (F) et dont les coordonnées 

 (r,, . . ., r-) ont pour valeurs 



" étant délinie par l'égalité 



jr\ + .i-'\ 4- jrl + (.r + iv) 9"= o 



dans laquelle (f désigne une constante arbitraire ('). Lorsque tv varie, la 

 surface (M) engendre la famille en question (^). Cette surface correspond 

 évidemment à (M^) dans une transformation de Ribaucour. Elle corres- 

 pond aussi, dans une transformation de Ribaucour, à une quelconque des 

 surfaces (M'); on l'établit en utilisant le lemme invoqué dans notre précé- 

 dente Communication. 



n est clair que les surfaces (M) jouissent de la même propriété que les 

 surfaces ( M) : quatre sur/aces (M) coupent le cercle (F) en quatre points dont 

 le rapport anharmonique est constant. 



Nous appellerons système K toute congruence de cercles tels que les 



( ') La surface (Mj) correspond à la valeur zéro de te. 



(/') Soient R', R" les rayons de courbure principaux de (Mj). On sait que chaque 



1 . • / 1 ^ j . ■ à}^ ,,,<^y- à\ r,,, au 1 1 ■ /■ • 



solution (A, u) du système -; h n -r- = 0, 1- H — ^ = o permet de définir une 



' •' du du ai' ai' 



surface qui correspond à (Mo) dans une transformation de Ribaucour. Si les sur- 

 faces (M,) et (M2) correspondent aux solutions (X,, pi), (/.o, fXj)) 'a surface (M) 

 correspondra à la solution (/., + C>.2, fx, + Cfjt,), C désignant une constante arbitraire. 

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