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cercles (F) et congntence K la congruence rectilignc formée par les axes de 

 ces cercles ('). 



Les propriétés établies plus liaul montrent déjà l'analogie qui existe entre 

 les systèmes K et les systèmes cycliques, les surfaces (VI) et les surfaces (M') 

 qu'il convient d'adjoindre à tout système K remplaçant les trajectoires 

 orthogonales des cercles d'un système cyclique. Cette analogie se mani- 

 festera encore à maintes reprises dans les développements (jui vont suivre. 



Envisageons les normales aux surfaces (M) et les normales aux sur- 

 faces (M) aux différents points d'un cercle (T). La normale à une sur- 

 face (M) et la normale à une surface (M') se coupent toujours, et, si l'on 

 désigne par I leur point d'intersection, on a MI = MI. 



Deux cas peuvent se présenter : i". si une des normales considérées est 

 située dans le plan oj de (F), toutes le sont et l'égalité ci-dessus montre 

 qu'elles sont de plus tangentes à une seule (F') concentrique à (F); ce cercle 

 engendre un système cyclique et les surfaces (M), (M') sont parallèles aux tra- 

 jectoires orthogonales des cercles (F'); 2° lorsqu'une des normales considérées 

 est extérieure au plan co, toutes le sont; alors les normales aux surfaces (M) 

 et les normales aux surfaces (^M ) engendrent deux dcmi-quadriqucs com- 

 plémentaires ; la quadrigue(() ) qui les porte est de révolution autour de l'axe a 

 du cercle (T). 



{') Des syslètnei K particuliers ont été reiiconU-és dans plusieurs reclierclies de 

 Géométrie infinitésimale. Nous citerons les systèmes engendrés : 



1° Par les cercles décrits dans les plans tangents d'une surface à courbure totale 

 constante, des points de contact comme centres avec un ravon constant arbitraire; 



2° Par les cercles que M. Eisenharl a attachés à toute surface ayant même repré- 

 sentation de ses lignes de courbure qu'une surface à courbure constante ; 



3° Par les cercles de rayon nul formés par les tangentes isotropes en un point 

 variable d'une surface de M. Guichard (Comptes rendus, t. CXXX, p. iSi)). 



On doit à M. Blanchi une remarquable prO|îriété des surfaces isolhermiques : 



Si (M|), (Mo) sont deux surfaces isot/iermiqucs déduites d'une sur/ace isother- 

 niit/ue (Mu) nu moyen de deux transformations D,„,, D,„^ de M. Darboux, il existe 

 une quatrième surface isolhermique (M3) qui correspond aux surfaces (M,), (Mj) 

 dans des transformations D,„., D,„ de M. Darboux. Ce théorème peut être complété 

 comme il suit : Soient Mo, M,, Mj, M3 des points correspondants des surfaces (Mo), 

 (M,), (M2), (M3). Ces points sont concycliques et leur rapport anharmonique 



(MoMjMiMj) est égal à ■ — '-• On établit aisément ces propriétés en s'appuyant sur les 



formules de M. Hianchi et en soumettant la figure à une inversion de pôle Mo', nous 

 les avons d'abord obtenues par l'applicalion de certaines des formules indiquées dans 

 notre précédente Communication. Le cercle qui renferme les points Mo. Mi, Mj, M3 

 engendre un système K. 



