SÉANCE DU 17 JANVIER 1910. 169 



Cette discussion conduit naturellement à une classification des sys- 

 tèmes K. Au premier des cas envisagés correspondront les systèmes Iv de 

 première espèce et au second, les systèmes K de seconde espèce. 



La Géométrie va nous fournir de nouvelles propriétés des systèmes K. 

 Désignons par (M,,) et(M3) deux quelconques des surfaces (M') et par (M,) 

 et (^l-i) deux quelconques des surfaces (M). Soient C„,, G02, G, 3, C,^ les 

 centres des sphères qui ont pour enveloppes les couples (M,,), (M,); (M„), 

 (Ma); (M,), (M3); (Mj), (M3). Les plans tangents aux surfaces (Go,), (G02), 

 (Go), (G23) sont respectivement perpendiculaires aux cordes M„ M,, M^INL, 

 MilVr,, M^Mj du cercle (F) en leurs milieux, donc elles ont en commun 

 Taxe a de ce cercle. 



Désignons par a,„ et a,v les plans principaux de la surface (M,) 

 (i = G, 1,2, 3) respectivement tangents aux lignes (M,„) et (M,„) ('). Les 

 tangentes aux courbes (G„,„), (G„.,„), (G. ;,,„), (G,j,„) sont respectivement 

 les intersections des plans «„„ et a,„, a„„ et a^,,, a,,, et y.^,„ a,„ et y..,„\ comme 

 elles rencontrent «, elles concourent en un point F' de a et les plans a,„ passent 

 par ce point. Pareillement, les tangentes aux- courbes (C„t_t.), (Ggo,,,), (Gas,,.), 

 (G,3 „) concourent en un point F de a et les plans a,^ passent par ce point. 



Sur les surfaces (G,,), (G^o), (G23), (G13), le réseau («, v) est conjugué 

 (Dupin); donc, en vertu d'un théorème de M. Darboux {Leçons, IP Partie, 

 p. 2'3o), u et (' sont les paramètres des développables engendrées par la 

 droite a et celle-ci est tangente aux courbes (F„), (F^). 



Les surfaces (M„) et (M,) étant fixées, on peut faire coïncider les surfaces 

 (INIj) et (M3) respectivement avec une quelconque des surfaces (M) et une 

 quelconque des surfaces (M'). Dès lors, les résultats que nous venons d'éta- 

 blir peuvent être énoncés comme il suit : 



Soient F, F' les foyers de l'axe a du cercle (F), F correspondant à la dé- 

 veloppable v := const., et F' à la dé<,'eloppable u =^ const. 



Les plans principaux des surfaces (M) e/ des surfaces (M'), tangents aux 

 lignes V = const., passe/it par le point F'. 



Les plans principaux des mêmes surfaces, tangents aux lignes u = const., 

 passent par le point F. 



On déduit facilement de là que, dans le cas d'un système K de seconde 

 espèce, les foyers «ï>, $' des sections méridiennes de la quadrique (Q) sont 

 conjugués harmoniques par rapport aux foyers F, F' de la droite a. 



(') Lorsque les coordonnées d'un point V d'une surface dépendant de deux para- 

 mètres u. (', nous désignons respecli\ement par (F„| et (P,,) les lignes i' = const. et 

 u = const. qui passent par ce point. 



