SÉANCE DU 17 JANVIER 1910. 161 



posant 



dS dS 



à ces relations on peut ajouter un certain nombre 55 N — n de relations (3). 

 Le changement de variables, dont se sert M. Poincaré, rentre dans ce type. 



Supposons que les /• relations (3) soient résolubles par rapport à r des q : 

 nous les appellerons les Çi,: en indiquant les autres N — /■ par q„, et distin- 

 guant de même les variables conjuguées en deux groupes, les Ç/, seront des 

 fonctions des q^, des^„ et desp/,. Cela nous permet d'exprimer la fonction 

 caractéristique F en fonction des p^, des p/, et des q^] nous appellerons 

 ^(Pa\Pb\Ça) ce que devient la F(x\y) après cette substitution. 



Soit V((7„|(/4|a„| a,,), oiilesa„ et les a^ sont des constantes, une intégrale 

 complète de l'équation aux dérivées partielles 



/■d\ IdW \ \ ,, . j 



(jTa I = const. (tonclinn des a), 



"( 



dÇa I df/o i 



et posons 

 (6) 



dV d\ 



dqa d<ji, 



dtXa dct.1, 



où les p„ et les (3^ sont aussi des constantes. 



Le théorème de Jacobi nous assure que les (6) rendent l'expression 



(7) ^ pd<i — > (Z rf,3 =: une difFérentielle exacte, 



si l'on regarde les ^ et les a comme des variables indépendantes, eX, a fortiori, 

 si les qi, sont liées aux autres variables par les relations (3), et si nous posons 

 aussi a4= o, en choisissant (ce qui est toujours possible) de tels ocj que le 



déterminant -; T?r- ne s'annule pas. 



Il rt^a "Pa II 



Pour plus de clarté, nous indiquerons par W(^„|g'4| a„) ce que devient la 

 fonction ^ lorsqu'on y pose a^, = o. 



Il va sans dire que toute intégrale de H = const., dépendant de N — r 



constantes, pourrait être envisagée comme une telle ^^ , pourvu seulement 



1 j, . Il rf-W II , , 



que le déterminant 5 — :; — ne s annule pas. 



do a ^^-n I 



On a, d'après (6), 



"'/a d(]i, ' dy.„ 



