SÉANCE DU 17 JANVIER igio. l6'i 



dans deux Notes récentes. La définition de ce qu'il appelle la sinuosité d'un 

 ensemble s'était présentée naturellement à moi, il y a déjà longtemps, avec 

 une légère différence que j'indique tout d'abord; tandis que, parmi les 

 chemins qui évitent les points de l'ensemble et joignent A et B, il considère 

 tous ceux qui sont dans un cercle de rayon r autour du point qu'on veut étu- 

 dier, je considère uniquement ceux dont l'écart AB est plus petit qu'un 

 nombre t que je fais tendre vers zéro en laissant r fixe. La limite inférieure 

 des rapports des longueurs de ces chemins à la longueur AB augmente 

 quand £ diminue et tend vers une limite. La limite supérieure de toutes ces 

 limites pour les différents couples A, B diminue avecr. Si sa limite pourr = o 

 est I -t- À, X sera la sinuosité. 



On voit tout de suite que la définition ci-dessus fournit une valeur supé- 

 rieure (ou égale) à celle de M. Deujoy. On conçoit que les deux valeurs 

 puissent être différentes, car il peut être plus court pour aller de A à B de 

 s'écarter notablement de AU que d'en rester constamment très près. 



IL Les applications actuelles de la théorie des ensembles à la théorie des 

 fonctions analytiques semblant nécessiter une étude de plus en plus appro- 

 fondie de la disposition dans le plan des points d'un ensemble, je crois utile 

 d'indiquer les points de vue suivants auxquels on peut encore se placer pour 

 une telle étude. 



Entourons chaque point d'un ensemble borné d'un cercle de rayon /•, 

 L'ensemble de ces cercles couvre un nombre fini de domaines. Soit n ce 

 nombre. Quand r diminue, n croît. S'il reste borné, il atteint et conserve 

 une valeur fixe. S'il grandit indéfiniment, il aura un ordre d'infinitude par 



rapport à -;; ce nombre ou cet ordre pourront s'appeler V ordre de morcelle- 

 ment de l'ensemble. 



Il est facile de voir qu'on peut considérer au lieu de cercles une succes- 

 sion E,; d'ensembles jouissant des propriétés suivantes : i" chacun est une 

 somme de continus superficiels ; 2" chacun est portion du précédent; 3" ils 

 contiennent l'ensemble E donné; 4" chaque portion de E„ est à une dislance 

 de E inférieure à r, et tout point de E„ est à une distance de E inférieure 

 à 2 r. Le nombre des portions de E„ est une fonction croissante de r, qui a 

 la même limite que dans le cas précédent, pourvu que E soit fermé. 



III. Le point de vue suivant se rapproche davantage de celui de 

 M. Denjoy. Soit a un point d'un ensemble à deux dimensions. Menons par a 

 une droite qui fait avec une droite fixe l'angle cp. Les points de l'ensemble 



