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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks conditio/i^s rie maicùnum 'OU de mimmurn 

 d'une fonction analytique d'une infinité d&, variables ;.lSiOlQ de M. J. 

 Îje Roux, présentée par M^ Emile. Picard. . 



Pour une fonction de pLiasieuirs vaciables^ donl-la.variaiiou premièrc'.fest 

 nulle en un point, l'étude de la variation seconde; fournit eB.,g«Q'épal :iîn 

 critérium pour reconnaître si la fonction présente au point considéré un 

 maximum ou un minimum relatif. Les propriétés que j'ai établies dans une 

 précédente Note sur les formes quadratiques permettent d'étendre le même 

 critérium aux fonctions d'une infinité de variables. 



Soit f{cc) =y(a7,, X.,, . . .') une fonction analytique réelle des variables 

 X,, ,T„, ... s'annulantau point 



et uniformément convergente dans un domaine (D), défini, par des inéga- 

 lités de la forme 



(I) \^n\ia„. 



Cette fonction est alors développable en série de Taylor généralisée, 

 comme je l'ai montré ailleurs. On peut écrire 



(9.) /(.r)rr:V (s„ (>■,,, r„ ...^, 



(fj, désignant une fonction homogène d'ordre p des variables considérées. 

 Toutes les fonctions homogènes ç^,, ainsi que la série Zcp^, sont uniformément 

 convergentes dans le domaine (D). (Dans les travaux de M. H. von Koch 

 et de M. Hilbert, c'est le développement considéré qui sert de définition à 

 la fonction.) 



Supposons maintenant que le développement commenee«ux' termes du 

 second ordre, et que la fonction <^.; soit une forme qn«dpalique détiniiei 



Je disque, dans ces conditions, on peut déterminer un d0maine.[D'), entou- 

 rant l'origine, et dans lequel la fonction /( x) est différente de zéro, sauf à 

 l'origine, et constamment du même signe que la forme quadratique ^.,. 



Soit par exemple 92^0. Nous avons établi qu'à chaque variable '.r„ 

 correspond un module positif u,,; si l'on donne à a;,, une valeur déterminée^,,, 

 on a constamment 



