SÉANCE DU 24 JANVIER I910. 2o3 



.'La série (2) étant' convergente dans le domalae ( D), frontière comprise, 

 chacun des- termes ç,, 9., ...-reste, en valeur absolue, inférieur à un 

 norabr^M, dans tout le domaine considéré. 



- ' Soit t un nombre positif , les inégalités 



définissent un domaine D„'honlothéliqué à D. Dans le domaine D, la valeur 

 absolue de la fonction liom-ogène «pp reste inférieure à }Al'' . 



Cela.posé,'Oonsiiidérons un système ide valeurs des variables x-,, x-^, . . ., et 

 formons la suite des rapports 



I «1 I I «2 I I "« I 



Nous supposerons que cette suite admette une limite supérieure f, inférieure 

 à I : aucun des rapports considérés n'est supérieur à /, mais il en existe qui 

 sont supérieurs à tout nombre t <[ /. 



Si l'on a, en particulier, — -/\ il en résulte 



I "n I " 



La fonction coTisidérée /(a?) aura donc alors une valeur supérieure à 



M'' 



f;L„ rt,^, /'- — iVI (/'-+-/• + ...) = ;ji„ a;, l • 



Elle sera donc positive si les nombres t et l' satisfont à l'inégalité 



, ,, M/' 



(4) \>-na:,f^— j—-^ >0. 



Pour' que la condition (4) puisse être vérifiée par des valeurs de t' 

 inférieures à ^, il faut et ibsuffit que l'oniait 



t< 



fJL„(7- 



et, par suite, 



(5) I x„ I <- j^|!^'"|'^2 ■ (égalité exclue). 



Les inégalités (5) définissent un-nouveau dcmaaine; (D'). intérieur à (D) 

 et dans lequel la fonction f{x) est toujours positive, sauf à l'origine où 

 elle est nulle. Elle admet donc en ce point un minimum relatif, et notre 

 proposition est par conséquent démontrée, 



