SÉANCE DU 24 JANVIER I910. 2o5 



Désignons par o, ( / ) le polynôme 



< — 2'-'r--^ 3'-'/' — . . .— (/j — !)'-'</'-', 



et posons ^,(0 = ?/( ~ ' — ' }■ 



Il résulte des recherches de Kummer que chacun des six rapports -> -> 



->->-)- vérifie les^ coneruences 



z .r z y 2 '^ 



B, J/,,_2/(0 ^ o (modp) ( «' =: I, 2, . . . , -i \i 



(i) 9p_,(0 = o, 



B,- étant le ?"■"* nombre de Bernoulli. 



Or les polynômes .p,(/) sont liés par une relation qu'on déduit très sim- 

 plement de la formule 



; = 1 ( r- 1 



où a,, a.,, .... a„,_, sont les racines de ^^ = o et m un nombre entier 



. — j 



quelconque que, pour plus de simplicité, nous supposons premier. 



Posons e' =1 + /, d'où x = log(n-/), et développons les deux membres 

 de (2) suivant les puissances croissantes de / jusqu'aux termes en IP~' inclu- 

 sivement. Il est aisé de montrer que la série log*(i -ht) arrêtée au terme 

 en f'' donne, pour tout k<ip — i, un polynôme congru à k\ '^p-k{i) 

 (mod/?) (cf. Journal f. reine 11. angew. Math., t. 128, p. 60). Nous aurons 

 ainsi, après une transformation facile, la formule 



( =- //i _ 1 ( = m — I 



(3) o,-(0 2 T^rj;^^^'"-' 1 (t^^-7^^.J = --^=?-^') 

 1=1 / = 1 



/ = V — 1 

 / = 1 



en posant 



■ tp- 



(— I + C(,)''-' (I — et,)''-' 2 



Cette formule est une identité (modyo). Multiplions-la par le pro- 

 duit JjTJ (i — cti-ht). En faisant / =: — i, tous les termes en ?/,-,, ']'p--2i 



