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s'annulent (mod/?) et il vient 



(5) (_.)''-'('»"-'-.)— ^ = 7('«)= y -^. 



p — I ! ^^ I — a, 



formule qui fournit une expression générale du quotient de Fermât (/(m). 

 Si maintenant on substitue à / l'un ides rapports -, -• • • • > les termes 



II y j- 



en 9/,-i, 4'/'-2( tombent en vertu de (i). En remplaçant alors ( par — i — /, 

 ce qui est permis, nous aurons 



(6) Yl (' + «') 2 T^,^'' (modp). 



(=1 ;=1 



On peut donc énoncer le tbéorème suivant : 



Si l'équation xf-hY''-\- :■'' = o admet une solution x, y, s première à p, 

 chacun des rapports—, •—■,■■■ vérifie la congruence (6). 



En faisant dans (G) w = 2, on retrouve le critérium de M. A. Wieferich. 

 Pour m = 3, la congruence (6) s'écrit 



< (R, -h R.,) + a. R, -h a, Rs = o, 



et comme le nombre des rapports -, —, ••■ distincts ( mod^) est au moins 



égal à 2, on doit avoir R, h- Ho ^o, a^R, + a, R^^^so, d'où, en vertu 

 de (5), y(3)^o (modjo). c. o. f. d. 



On voit que l'impossibilité de l'équation de F'erniat en nombres entiers 

 premiers h.p est établie pour tous les exposants premiers/?, tels que l'un au 

 moins des quotients de Fermât q{i), y (3) ne soit pas divisible par p. Elle 

 est établie, en particulier, pour tous les exposants premiers de la forme 

 2°3*dL I et de la forme ± 2"^: 3*. 



D'autres critères peuvent être déduits de (6) en donnant à m des valeurs 

 supérieures à 3. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation des solutions d'une équa- 

 tion aux différences finies linéaire pour les grandes valeurs de la variable. 

 Note de M. GaliBbu>, présentée par M. Painlevé. 



On sait que 4a rechcrcbe des solutions de l'équation aux différences finies 



(,) A„/(.r + A) + A,/(,r + Â- - I) -. . .+ A;,/(.r) = o, 



