SÉANCE DU 24 JANVIER 1910. 207 



OÙ A, est un polynôme en x de degré p, se ramène au moyen de la transfor- 



mation 



/{j,)^fr(z)z-'-'dz, 



à la résolution de l'équation différentielle 



(2) =/'H„^-;+G/'->H, 



\hr ' ' 'dz'--' -.,'-"• 



où R,- est un polynôme en : de degré égal ou inférieur à^. Dans la pressente 

 Note, j'étudierai le cas où le polynôme Ro étant de degré inférieur rà X-, 

 toutes les solutions de l'équation' (2) peuvent être représentées asymptoti- 

 quement à l'infini par des séries normales du premier ordre de la forme 



l-", = e-p' 3H-i / oj, -1- _l -+- . . . -i- —- 4- _ I . 



Il existe une solution u,- de l'équation (2) qui, quand :; s'éloigne à l'infini 

 avec l'argument de [î,- changé de signe, est représentée asymptotiquement 

 par P,; je forme alors 



..inoiXfU-. 

 a étant un point de la droite -O'-^ p,- situé entre O et x et l'intégrale étant 

 prise sur cette droite depuis a jusqu'à i'inlîni. 



D'autre part, au voisinage de l'infini, l'équation (2) admet \es p solutions 

 indépendantes 



Au moyen de ces fonctions on peut former p solutions W de (2) telles que 

 la fonction/", (.r) définie par 



/, ( j-) = ï{i,, ) + f z^-' ( c, w, + c,w.,+ . . . -h c,A\,,rciz. 

 ■ i.„ 



d'où solution de l'équation (i); le contour L„ iyânt pour origine et extré- 

 mité le point a, comprend à son intérieur l'origine et tous les points rapines 

 du polynôme R„ ; les constantes csont les coefficients des fonctions (^ dans 

 l'expression de m,- en fonction de t',, c^, . . . , c^ au voisinage du point a. La 

 fonction /) (a;) est méromorphe et admet pour pôles les racines des équations 



ro e-"^"-' — 1 = 0,- ;■ 



où CD est racine de l'équation fondamentale relative au point à l'infini. 



