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GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur les systèmes et les congruences K. 

 Note de M. A. Demoulin. 



Reprenons les surfaces (M(,), (M,), (Mo), (M3) envisagées dans notre 

 Note du 17 janvier 1910. 11 est clair que leurs plans tangents passent par 

 un même point O situé sur l'axe a du cercle (F). 



Désignons par ik une quelconque des combinaisons 01, 02, 23, i3. Les 

 surfaces (M,), (M^.) se correspondent dans une transformation de Ribau- 

 cour. Soient r/^ la droite d'intersection des plans tangents aux surfaces (M,), 

 (Ma), F,/( le point d'intersection des tangentes aux courbes (M,„), (Ma„) et 

 ¥'■1^ le point d'intersection des tangentes aux courbes (M,-,,), (M^,,). 



Sur les surfaces (M,), (M/;.), le réseau (w, v) étant composé des lignes de 

 courbure est conjugué; donc, en vertu du théorème de M. Darboux 

 invoqué dans notre précédente Communication, la droite clj^ est tangente 

 aux courbes (F,yi„), (F^^„). Comme les droites dj,, concourent en O, les 

 plans osculateurs des courbes (F^^„), c'est-à-dire les plans tangents aux 

 surfaces (F^), ont en commun la tangente /' à là courbe (0„). Par suite, 

 les tangentes aux courbes (F,7,^u) rencontrent la droite t' . Or les tangentes 

 à deux courbes (F^^y) sont dans un même plan lorsqu'un des indices i, k 

 relatifs à l'une d'elles est égal à un des indices i, k relatifs à l'autre, et ce 

 plan est le plan osculateur à la courbe (M„,), s désignant l'indice commun. 

 Dès lors, les tangeiiles aux courbes (F,^, „) se coupent en un point V de t' et 

 les plans osculateurs des courbes (M,u) (j = o, 1, 2, [^) passent par ce point. 

 De même, les tangentes aux courbes (F^^. ,,) se coupent en un point P de 

 la tangente t à (0,,j et les plans osculateurs des lignes (M,v) passent par ce 

 point . 



Il a clé établi que les tangentes aux courbes (F^;,. ,,_) passent par O et que 

 les tangentes aux courbes (F;7t,u) passent par P'; or les réseaux («, v) tracés 

 sur les surfaces (F^) sont- conjugués; donc, en vertu du théorème de 

 M. Darboux, invoqué plus haut, la droite t' a pour foyers les points O etP' 

 etw, ('sont les paramètres des développables qu'elle engendre. Dès lors, 

 sur la surface (O), le réseau (w, v) est conjugué. 



Fn appliquant le même raisonnement aux réseaux (m, c) tracés sur les 

 surfaces (F^^), on retrouve ce dernier résultat, et l'on démontre en outre que 

 les foyers de la droite / sont O et P. 



Laissant de côté ce (jui concerne les surfaces (F^) et les surfaces (F^^.), 



