SÉANCE DU 7 FÉVRIER 19IO. 3ll 



nous réunirons dans l'énoncé suivant les résultats que nous venons d'ob- 

 tenir : 



Les développahles de la congruence engendrée par la droite a découpent sur 

 la surface ( O ) un réseau conjugué (u, v). 



Si P et P' sont les seconds foyers des tangentes aux courbes ((J^) et (0„), 

 les plans osculateurs dis lignes de courbure u = const. des surfaces (M) et 

 des surfaces (M') passent par P et les plans osculateurs des lignes de courbure 

 V = const. des mêmes surfaces passent par P'. 



Supposons maintenant qu'il s'agisse d'un système K de seconde espèce. 

 Le point O est alors le centre d'une sphère ( S ) inscrite à la quadrique (Q) 

 suivant le cercle (F). 



Envisageons une quelconque des surfaces (M) et une quelconque des 

 surfaces ( M'). Le cercle (y) qui coupe orthogonalement ces surfaces en M 

 et M' engendre un système cyclique. Comme il y a ce' surfaces (M) et -x' 

 surfaces (M'), il y a co- cercles (y); tous sont situés sur la sphère (S). 

 Lorsque u ( ou r) varie seul, chacun d'eux admet une enveloppe qu'il touche 

 en deux points; ceux-ci sont situés dans le pian tï, (ou u', ) de la caractéris- 

 tique de la sphère (S). Désignons par N,, N', les points caractéristiques de 

 cette sphère, et par «, la droite qui les joint. Des développements qui pré- 

 cèdent, on déduit les résultats suivants : 



1° Les plans des cercles (y ) touchent leurs enveloppes (E) en des points E 

 situés sur a , . 



2" u et (' sont les paramétres des développahles engendrées par a,. 



3" Sur la surface (O), le réseau (u, c) est conjugué (résultat déjà obtenu) 

 et les tangentes t', t aux courbes (O^), (O,,) sont respectivement perpendicu- 

 laires aux plans 7z^, rJ^. 



4° Soient F,, F', les points focaux de la droite a,, ces points étant 

 choisis de manière que les courbes (F,„), (F',^,) soient tangentes à «,. Les 

 plans -,, -', sont les plans focaux de a, ; ", est tangent à{F,) et -tî'^, à (F',). 



5" Désignons par -, tt' les plans focaux de a, t: étant tangent à (F) et u', 

 à (F'). D'après le 3°, les plans focaux iz, -' de a sont respectivement perpen- 

 diculaires aux plans focaux -\, -, de a,. 



Les coordonnées d'un point quelconque du cercle (F) ont pour expres- 

 sions 



Xi, x.i, .73, -{(a + -]\J(xB, -(9 )v^<z5, 



ç désignant un paramètre variable. 



C. R., 1910, 1" Semestre. (T. 150, N" 6.) ^2 



