3 1-2 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Lorsque a varie seul, (F) admet une enveloppe quil louche en deux 

 points 1, T' dont les ^ satisfont à l'équation 



, .. Ou , Al 



()u 



Lorsque v varie seul, (T) admet une enveloppe qu'il touche en deux 

 points H, H' dont les o sont les racines de l'équation 



O^ — 2 Cp . 



~d7' . C, 



-d^^ C -"• 



(Je 



On déduit de là les propriétés suivantes : 



1° u, V sont les paramètres des développahles engendrées par a (résultat 

 déjà obtenu); 



2° Les plans focaux ir, 7t' de a sont perpendiculaires aux droites HH', H'; 



3° Le plan <o de (F) touche son enveloppe au point O, d'intersection des 

 droites II', HH' ; 



4° Le point O, est situé sur a,, car, le cercle (F) appartenant à (S), les 

 droites H', HH' appartiennent respectivement aux plans u,, u,, lesquels se 

 coupent suivant a^ ; 



5° Sur la surface (O,), le réseau (m, v) est conjugué et les tangentes?,, /, 

 aux courbes (0,„), (O,^) sont respectivement HH', IF; 



6" Le point O, est le centre d'une sphère (S,) dont les points caractéris- 

 tiques sont les foyers N, N' du cercle (F). 



Nous aurons à nous appuyer sur les théorèmes suivants : 



.SY une sphère passe par les foyers d'un cercle tracé sur une seconde sphère, 

 elle est orthogonale à cette sphère. 



Si deux sphères sont orthogonales, tout plan diamétral de l une coupe l'autre 

 suivant un cercle dont les foyers appartiennent à la première. 



De la première de ces propositions, on déduit que les sphères (S) et (S, ) 

 sont orthogonales. En vertu de la seconde, le plan tangent eu, de la sur- 

 face (O) coupe (S|) suivant un cercle (F,) dont les foyers appartiennent 

 à (S); comme le plan w, est perpendiculaire à la droite a,, ces points coïn- 

 cident nécossaircmenl avec les points N,, N, . Ainsi les foyers du cercle (F, ) 

 sont les points caractéristiques de la sphère (S). D'autre part, m, v sont les 



