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pour lesquelles ces équations sont satisfaites autrement que pour 



(j) (.r)= iji {''f)=^ o. 

 Soient, rangées par ordre de grandeur, 



K h, K ••-, y-n, ..., 



ces valeurs de X et les valeurs correspondantes de cp et 'j/ 



o,, Oo, 93, . . . , 9„, . . . , 

 4/,, '^y,, ']>3, ..., d;„, 



Les s et ^ forment un système orthogonal. On peut énoncer les condi- 

 tions ainsi : 



I. La fonction donnée f {x) doit être située dans l'espace o , c est-à-dire que 



r'' ' [ r'' T" 



j f[xydx=^ J /(j")9„(x)ar . 



II. En désignant par a„ les coefficients de Fourier de /{■r) relatifs aux cp, 

 ta série ^ X,', a'I doit être convergente. 



La solution cherchée V{x) aura donc relativement aux 9 les coefficients 

 de Fourier A„«„. Cette solution ne sera pas en général continue. Je vais 

 démontrer le théorème suivant : 



Si ta série ^^X,^ (^i converge., ta série de Fourier 



n — \ 



r'' 



F(x) =2 '>-n'^n{^r)j f{y)On{y)dy 



sera unifor.nérnent corner génie et par suite F(.3;') sera continue. 



On peut le démontrer ainsi. On a, en s'inspirant d'un calcul de M. E. 

 Schmidt, 



y},„'|.,(.r)/ /(y)oAy)dyrr,^lf, j K{.r.r)oÀy)dy I f{y)'-?Ay)dy. 



l^osons 



J^ .tmd ^md 



