SÉANCE DU 7 FÉVRIER 1910. 3l5 



OÙ ^ est la somme des termes qui, pour la valeur considérée de x, sont 

 positifs. Alors on a, d'après l'inégalité de M. Schwarz, 



V>,,^ r K(xr)9,.(/)^yy /(r)9.(7)<>' 



= f K{a-y) rfjVo„(y)/^^ f /{y)o,(y)dy 



u/fM^ryY-dyL/ f \y^o,.{y)\:.Jf{y)o.{y)dy\ dy. 

 On a 



/"' \^'^^'^yy'"l /(/)?^(.>')<M ''y 



= V7» 



et, par suite, 



^l.'^.U-)j'f(y)o,.{y)dy^^i/j K(x/)^ </ri / V /.; f f{y)o.{y)dy\ . 



Donc la série de Fourier 



r'' 



sera uniformément convergente et F(^) sera continue. Cette solulion sera, 

 dans l'espace 'ji, la seule qui est continue. 



L'ensemble des solutions de l'équation (i) consiste en la fonction 

 trouvée V{x) augmentée d'une fonction de l'ensemble des fonctions qui 

 sont orlliogonales au système '.j;. Ce dernier ensemble se détermine par une 

 méthode toute analogue à celle qu'a employée M. Erhard Schmidt(') pour 

 un problème analogue. 



(') Palenno Rend., t. XXV, 190S, n'"* 10 el 11. 



