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AAALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les développements procédant suivant les 

 polynômes hy per géométriques . Noie de M. Nicolas Kryloff, présentée 

 par M. Emile Picard. 



Le problème de la possibilité du développement d'une fonction, dite 

 arbitraire, d'une variable réelle peut être posé comme il suit : On forme 

 une série dont la convergence absolue et uniforme est d'avance assurée, 

 moyennant certaines conditions, et puis on tâcbe de profiter de l'arbitraire 

 qui intervient dans la série pour l'identifier terme à terme avec le dévelop- 

 pement, supposé possible, qui représenterait la fonction qu'il s'aj^it de 

 développer. Ce point de vue paraît d'autant plus légitime que le dévelop- 

 pement en question, une fois possible, a toujours une forme unique, comme 

 on sait, et d'autre part la suite des polynômes (les limites des intégrales 

 intervenant étant finies) forme un système fermé. 



Parlons de la série ( ' ) 



absolument et uniformément convergente aux conditions toutefois que 

 (i) / ''('ï')/(-^'; -) cU<M el / r(.r) <I>,„(.r)<l>„(x)f/a' = o si m^/i, 



et envisageons par exemple les polynômes de Jacobi, vérifiant l'équation 

 difîérentielle 



(i — a,-2)U';„-t-[a — |3 — (<z-i-|3).r]U„, + /«(w — i -t- « + ;5)U„,= o; 

 une combinaison facile nous donne 



^ ' l,n~ pdx ' 



p et/>, étant des fonctions très simples de x. Intégrons entre — i et s; 

 remarquons que la constante d'intégration se trouve égale à zéro, et posons 



/ p\J,„d.i:—l /(x, z)<i>,„{.r)d.r [on a l'ail eiilrer r(.z-) dans «1>,„ (.<•)]. 



(') SciiMiDT, Mallu-inattsche Annalen, t. LXIII. 



