SÉANCE DU 7 FÉVRIER I910. 817 



Prenons /(a?, s) ^ o si a? > s et /"(.r, z) ^=:/(x) si a: <^ ^; un calcul immé- 

 diat donne alors 



/(7)' = p(x) = (, +.r)--'(r - .r)P-' 



et la condition (i) est satisfaisante si a et ^ sont >• o. D'autre part, on a ( ' ) 



a.r ' 



donc nos considérations seront valables pour les polynômes de Jacobi, dont 

 les paramètres sont plus grands que un. 



Pour l'identification des coefficients, il faut s'appuyer sur un théorème de 

 Riesz, lequel affirme l'existence effective d'une fonction donnée par les 

 coefficients de Fourier si la somme des carrés de ces coefficients forme une 

 série convergente. En se rapportant à notre cas, il faut affirmer l'existence 

 de 4'(^)? telle que 



j <^(j')*m(.r)rfj7 = (m-ha-+-(3 — i) f F(,T)/;,(.r)U;„_,c?.r — (w + a + p — i)A,„; 



or l'intégration par partie en combinaison avec (3) donne, vu la forme 



C , 



de p, (.r), que A,„ = — ^> ou C„, est le coefficient de Fourier de la fonc- 



tion — !^- — — ^^ — -; donc pour que 1 L,,„ = 1 A,, w forme une série con- 



p ( J' ) Cl.V ri /" m 



vergente, ce qui est notre but, les conditions restrictives pour la fonc- 

 tion F(x) s'imposent, et l'on peut énoncer le théorème: 



Toute fonction continue intégrable et de carré intégrable., ainsi que sa pre- 

 mière dérivée entre — \. et -\- \^ se développe en série absolument et uniformé- 

 ment convergente, procédant suivant les polynômes de Jacobi, dont les para- 

 mètres a e/ j3 sont plus grands que un. 



Un raisonnement analogue, convenablement modifié, nous montre la 

 possibilité du développement suivant les polynômes de Jacobi dont les pa- 

 ramètres a, j3 sont compris entre o et i, à la condition toutefois que ledit 

 développement soit valable en un certain point entre — 1 et H- i ; les 

 conditions imposées à F(x) seront ici moins restrictives : il suffitque F(j7) 

 soit intégrable et de carré intégrable. 



Les polynômes de Jacobi n'ont été choisis qu'à titre d'exemple, car 



(') PossÉ, Recherches sur les /raclions continues algébri(jues, p. 5o. 



