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loujours l'équation différentielle hypergéométrique donne le moyen de 

 construire la combinaison analogue à (2), et d'autre part on a, comme on 

 sait, 



ce qui permet de refaire la démonstration dans chaque cas particulier; pour 

 les polynômes de Lcgendre, par exemple, tout cela se simplilie singulièrement 

 à cause de ce qu'on a ici p(x)=^ 1. Il va sans dire que la portée de la 

 méthode est bien plus générale, et même la plupart des restrictions, imposées 

 à la fonction qu'il s'agit de développer, pourront être levées probablement 

 dans une large mesure; on peut espérer, par exemple, établir par cette voie 

 la possibilité du développement procédant suivant les fonctions orthogo- 

 nales signalées pour la première fois par M. Appell (Comptes rendus, 1H79). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation d'une fonction arbitraire 

 par une intégrale définie. Note de M. Michel Pi,a\cuerel, présentée 

 par M. Emile Picard. 



1 . A côté des développements d'une fonction en séries de fonctions ortho- 

 gonales, qui ont fait l'objet de nombreuses et profondes recherches, se placent 

 des représentations d'une fonction par des intégrales définies. Le type le plus 

 simple de ces développements 



(,) /(•«) = / d^o(s,-^)ff{f)c^it,iJ.)ct( 



donne, lorsque A = « = o,B = è = oc,(p(i-, [j.)=::i /-cos^ui, une fornmlebicn 



connue de Fourier. Jusqu'à ces dernières années, notre connaissance de ces 

 représentations intégrales était bornée à celle de quelques cas particuliers tels 

 que les intégrales de Fourier et de Bcssel ; les méthodes employées pour les 

 établir donnaient essentiellement des formules de la forme 



=jim/ /( 



de ces formules on déduisait ensuite les représentations intégrales de la 

 forme (i\ grâce à des propriétés très particulières des fonctions considérées. 

 Cette manière de procéder semble difficilement susceptible de généralisation ; 



