SÉANCE DU 7 FÉVRIER 1910. 3l9 



elle a, en toutcas,rinconvénienlde masquer la structure de '^(5, fji) et les pro- 

 priétés essentielles des deux transformations fonctionnelles successives qui 

 constituent le second membre de (i). Cette structure et ces propriétés ont 

 été pour la première fois mises en évidence par la théorie des équations 

 intégrales singulières, pour lesquelles la méthode de Fredholm n'est plus 

 applicable. On peut d'ailleurs les obtenir sans avoir recours à cette théorie, 

 comme nous allons le montrer sur le cas simple du type (i). 



2. Soit ù l'ensemble des fonctions de carré sommable, détinies sur un 

 intervalle fini ou infini (a, b). Une suite [/„ (s)] de l'ensemble (2 converge 

 en moyenne si l'intégrale de {fm — fn)' étendue à l'intervalle (a,b), tend vers 



zéro avec — ; -; il existe alors dans ù une fonction _/(*) unique, vers laquelle 

 convergent une infinité de suites partielles [/„ ] extraites de la suite [f„] ; 

 nous appellerons /(^) la fonction limùe de la suite [/„]. Un sous-ensemble e 

 de Q, est fermé, lorsqu'il contient les fonctions limites de toutes les suites 

 [/„] de fonctions de e qui convergent en moyenne. Nous définirons mainte- 

 nant une transformation fonctionnelle linéaire de e par les propriétés sui- 

 vantes : 



1° A toute fonction f{s) de e la transformation fait correspondre une 

 fonction F(pi) définie sur un intervalle (A,B), de carré sommable sur cet 

 intervalle; 2° à a,f,(s)-ha.,f.^(s) correspond par la transformation 

 a, F,([ji.) -1- (:/2F2([a), F, et Fo étant les transformées de Z",,/,; 3° à toute 

 suite [fp^ convergeant en moyenne vers /correspond une suite [F^] con- 

 vergeant en moyenne vers la transformée F de f. Il existe pour toute 

 transformation fonctionnelle linéaire une fonction génératrice <I>(^, ja), 



continue en^, jj., possédant des dérivées partielles -r-, -j— de carré som- 

 mable, la première en s sur (a,b), la seconde en [j. sur (A,B), telle que la 

 transformée F(a) de/(^ ) soit donnée, en général, par la formule 



,,, , d r'' ^ à>^{t.u.) , 



dix 



4>(i,a) n'est pas univoquement déterminé par ces propriétés. 



[?/>(*)] étant un système orthogonal de fonctions relatif à l'intervalle 

 (a,ft), nous désignerons par [/(*}] ç | section de /par le système [;p]j la 

 fonction limite de la suite/,, =/, ^,(5)+ ... -)-/„9„(5), où/, désigne le 

 coefficient de Fourier de/par rapport à çi^. On démontre la proposition 

 suivante : 



$(5, a) étant la fonction génératrice d'une transformation fonctionnelle 



Semestre. (T. 150, N» 6.) 



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