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linéaire Irans formant l'ensemble Q. en un ensemble défini sur l intervalle 

 (A, B), la condition nécessaire et suffisante pour que l'on ait, pour toute fonc- 

 tion f( s) de Q, 



est que $(*, a) puisse se rnellre sous la forme 



où ['!/,( [J-)] est un système orthogonal de fonctions, relatif à l'intervalle 

 (A,B j; rt|, A, deuv valeurs finies situées dans les intervalles (a, b), (A, B); 

 h, (s), h.fij.) des fonctions continues quelconques possédant des dérivées de 

 carré sommable. 



Si<&(*, jj.) admet une dérivée , , = ^(s, [/.), sommable superficiellement 



dans toute portion finie de l'aire fl!^*>è, A>u.>B, telle que 



/ / !p(.$, ,a)a'5rf;j. = $(.s /^) — <I»(«i, ,a) — «I>(a-, A,) -+- a»(a,, A,), 



et si de plus : i" il existe dans (a, b) une suite d'enseml)les e,, e.,, ..., dont 

 chacun contient le précédent, leur ensemble limite ne différant de l'inter- 

 valle {a,b) qu'aux points d'un ensemble de mesure nulle, sur lesquels ç(*, p.) 

 est, en général, de carré sommable en s; 2" il existe de même dans (A, B) 

 une suite analogue d'ensembles E,, E^, . . . , sur lesquels o(^, u.) est en gé- 

 néral de cai'ré sommable en [x, on obtient la proposition suivante : 



Pour toute fonction fi^s) de 12, il erisle deux suites d'ensembles c„ , e„ , ...; 

 E„,_, E,„ , ..., contenus dans les suites {e„\, [E„], telles que, uniformément en 

 général, 



[/(,?)]-=: Hm / d^o{s,iJ.)\'\m j /(t ) o( /, p.) dt. 



Si pour d'autres suites d'ensembles (e„), (E„J les limites indiquées par la 

 formule précédente existent, la fonction ainsi déterminée est identique, en 

 général, à (./'(* )1-^. 



Ce résultat montre la véritable signification des représentations intégrales, 

 à savoir d'être l'opération successive de deux transformations fonctionnelles 

 linéaires, inverses l'une de l'autre pour un certain sous-ensemble de 12. 



3° Les méthodes de Weyl relatives à la convergence des séries de fonc- 



