SÉANCE DU 7 FÉVRIER 1910. 323 



avec j. D'après le théorème de la moyenne, nous avons 



I = e-'/"V(--)e'Ç=^-'/(;)/^'^=/(i 



)(- 



^ étant compris entre Xj et x (.r <^ a-,) et /,■ la valeur de t pour a; = a*, , et 

 pour a;, suffisamment petit, 



|I 1 = 1/(1)1 5 l/(-^<)l?l/(-^o)|, 



en désignant par x^ le plus grand des a;,-. En appliquant cela de proche en 

 proche aux intégrales (s) nous trouverons, en remplaçant dans W^'^ les 

 coefficients complexes des coefficients des T, par leurs valeurs absolues 



(2) |<>|5MoX„, |o^'M?ll)/'(-^o)| (/. = 2. 3, ...,«). 



Donc en calculant une suite de fonctions R',", R',", ..., successivement par 

 les formules 



R'/:r=:MoX„, R^> = J;|/>(Ri''). ■■•- Rj;' = <!>;;' (Ri/i,), ■•■ (/=I, 2, ...,«); 



il suffit de démontrer la convergence des séries 



R','' fjj -1- R 2" co- + . . . ( i = 1 , 2, . . . , /i ), 



pour des valeui's de .r,, suffisamment petites. Pour cela comparons ces séries 

 avec les développements 



satisfaisant au système : 



Y,:= oj(M„Xo-l- M„r„Y,-i- M„x„Y.H-. . .+ Mo.r„Y„). 



En comparant les termes de co'' nous trouverons pour 0^" une expression 

 tout à fait analogue au R^" où seulement les fonctions T, seront remplacées 

 parM„j;o> |T, |. Donc6^|'> |Rp"| • Mais nous verrons que y, =^3 = ... =j'„ 

 et par conséquent v, = M.roW(i — «M.r^w)"' qui sera développé suivant 

 les puissances de co en choisissant n Ma;,,^ <[ i ; c'est toujours possible pour 

 des valeurs de .r, x^, x.,, ..., x„ suffisamment petites. Pour w = i et 

 n Ma7„ <^ I nos développements de s, seront convergents. Mais ils s'annulent 

 aussi lorsque x du côté positif tend vers zéro. En effet, il suffit de démontrer 

 que l'intégrale I tend vers zéro, et cette intégrale sera de la forme o .00 pour 

 •T := o, et comme nous avons prouvé que 0.00 sera fini [| 1 1 < |./(^o)| J» on 

 peut appliquer la théorie des expressions de la forme - et démontrer sans 



