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division o,, o^, ...,«„ compris eiUre a et b et non compris entre a et [i ; 

 parmi les intervalles ainsi obtenus, run a,fl,+ , renferme a,3 à son intérieur; 

 dans le calcul de la somme de Uiemann, on considérera comme longueur 

 de cet intervalle la différence entre le segment a,a,+ | et le segment ap, et 

 l'on utilisera la valeur de la fonction pour un point H, intérieur au segment 

 a,a,v,, mais non intérieur à a^. Si la somme de Tîiemana tend alors vers 

 une limite, quel que sait l'intervalle a^ pourvu qu'il satisfasse à la condition, 

 essentielle de renfermer c à son intérieur^ et si cette limite tend elle-même 

 vers une limite quand a[3 tend vers zéro, la fonction est intégrable au sens 

 de Riemann, malgré la présence du point singulier c. Tel est le cas pour la 



fonction \x\'^ . 



Considérons maintenant une fonction admettant une infinité de discon- 

 tinuités entre a et 6, et supposons qu'on puisse les enfermer dans une 

 infinité d'intervalles a„^„ tels que la définition précédente puisse être 

 appliquée mulatis mutandis. Si, quels que soient ces intervalles d'exclusion, 

 les sommes de Hiemann construites comme il a été dit tendent vers une 

 limite lorsque les longueurs des intervalles «,«,+, tendent vers zéro, la 

 limite de ces limites, lorsque la somme des intervalles d'exclusion tend 

 vers zéro, est précisément égale à l'intégrale au sens de Lebesgue, au moins 

 pour les fonctions bornées. Pour les fonctions non bornées, notre définition 

 est plus générale que celle de M. Lebesgue. 



La définition précédente est en apparence moins constructive que celle 

 de M. Lebesgue, c'est-à-dire ne paraît pas fournir une méthode de calcul 

 aussi régulière. Mais il faut prendre garde que la méthode de calcul de 

 M. Lebesgue, dont l'intérêt théorique est très considérable, n'est pas 

 toujours aisée à mettre en œuvre pratiquement. De plus il y a un certain 

 intérêt, comme l'a précisément montré M. Lebesgue dans le Mémoire cité, 

 à ramener son intégrale à des sommes riemanniennes. Enfin, il y a certai- 

 nement des cas où le procédé de calcul par exclusion des intervalles renfer- 

 mant les singularités est de beaucoup le plus simple et le plus naturel; 

 c'est ce qui a lieu pour bien des fonctions définies par des séries et en parti- 

 culier pour les séries de fonctions non bornées, auxquelles ne s'applique 

 pas directement le mode de calcul de NL Lebesgue. Désignant par a„ 

 les nombres rationnels compris entre o et i, on peut citer par exemple la 

 fonclion 



V,--»|.,. — rt„f l 



La dillerence entre le mode de calcul qui vient d'être indiqué et celui de 



