SÉANCE UU l4 FÉVRIER 19IO. 877 



M. Lebes;;ue apparaît plus grande dans le cas de l'intervalle d'intégration 

 infini. La méthode de VI. Lebesgue rend les intégrales simples analogues 

 aux intégrales doubles, et non plus aux séries simples où l'ordre des termes 

 joue un nMe pour la convergence. (Test suivant les cas un avantage ou un 

 inconvénient. 



Je serais heureux si les considérations précédentes, en rapprochant 

 l'intégrale de Lebesgue de l'intégrale de Riemann, contribuaient à rendre 

 plus rapidement classique son emploi, dont les avantages pour les recherches 

 ne sont plus à démontrer. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Lcs formes (iiiadrali(ji(cs positives cl le 

 principe de Diricidel . Noie de M. J. Le Roux, présentée par 

 M. Emile Picard. 



J'ai signalé dans une Note récente cjuekjues propriétés des systèmes 

 d'équations linéaires dérivés des formes quadratiques positives infinies. 

 Dans les hypothèses considérées, ces équations admettent toujours des 

 solutions dont on peut calculer les valeurs limites par des suites d'opéra- 

 tions convergentes, bien que les déterminants infinis correspondants soient 

 généralement divergents. Il est possible de généraliser la méthode dans 

 diverses directions et de l'étendre même au cas où les inconnues, au lieu 

 de donner un ensemble infini dénombrable, correspondent, élément par 

 élément, aux points d'un espace continu. On se trouve ainsi conduit à 

 envisager, à un point de vue nouveau, certains problèmes du calcul fonc- 

 tionnel et du calcul des variations. 



L'élude du principe de Dirichlet fournil un remarcjuable type d'applica- 

 tion et démontre par un exemple frappant le parti qu'on peut tirer de ces 

 théories dans diverses cjuestions d'analyse. 



Pour la netteté de l'exposition nous envisagerons d'abord le cas du con- 

 tour polygonal. 



Considérons dans le plan ■vOy un contour polygonal fermé P, limitant 

 une aire simplement connexe A. A chaque sommet de ce polygone nous 

 faisons correspondre une cote arbitraire z, ce qui détermine dans l'espace 

 une ligne polygonale L. Nous nous proposons de faire passer par cette ligne 

 une surface pour laquelle l'inlégrale double 



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