S-jH ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Au lieu de suivre la mélliodc de M. Hilbert, nous allons ra Hacher ce 

 problème à la théorie des formes quadratiques. 



Menons d'al)ord par la ligne L une aire polyédralc à facettes triangu- 

 laires, qui soit coupée en un seul point par toute parallèle à O:;. Les 

 facettes se projettent sur le plan lOy suivant un réseau de triangles R qui 

 couvre toute l'aire A. Distinguons par les indices i, 2, i les coordonnées 

 des sommets de Tune quelconcjue des facettes et posons 



^,z 



Aj.r et A.,.^ ayant des signilicatious semblables. 



Si Tordre des sommets a été choisi de telle façon que le déterminant A/. 

 soit positif, l'intégrale de 1 )iiichlel devient, pour notre surface polyédralc, 



Considérée comme fonction des variables :, l'intégrale T est une forme 

 quadratique positive F (z). 



Kevenant au réseau R, désignons par a,, a^, ... les nipuds intérieurs à 

 l'aire A; par p,, jS^, ... les sommets du polygone P, et respectivement 

 parSjj, Sj,, ..., Zp^, sp^, ... les valeurs correspondantes des cotes des sommets 

 de la surface polyédralc. Le réseau R étant choisi, et les valeurs des z^ 

 supposées données, nous commencerons par chercher les valeurs des z^ qui 

 rendent minima la forme quadratitpie F ( z). Les inconnues doivent vérifier 

 le système d'équations 



. , àF dl' 



Le déterminant du système (i) par rapport aux z^ est le discriminant de 

 la forme quadratique à lacpielle se réduirait F(z) si Ton y annulait tous 

 les z^. Or il est facile de reconnaître, d'après la définition de la forme F, 

 que, si tous les z^ sont nuls, la forme ne peut s'annuler (juand un seul desc, 

 est différent de zéro. Le déterminant considéré est donc dilTérent de zéro, 

 et le système (i) donne les Zrj, en fonction linéaire et homogène des cp: 



(2) ^a= ^C«P ^3- 



Considérons maintenant une suite de réseaux de densité indéiiniment 

 croissante, et tels que les nœuds de chacun des réseaux appartiennent à 



