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discriniinaiil donné, les trois minima de ces classes. Dans cet ordre d'idées, 

 j'ai obtenu des relations arithmétiques nouvelles où figurent encore les 

 minima, et qui contiennent en outre un paramétre arbitraire, dont la 

 présence permet de varier les résultats et en outre, comme on va le voir, 

 d'introduire dans les formules nnc fonction numérique arbitraire. 



Les notations ci-après sont celles de mes Communications des i'' juillet 

 et 21 octobre 1907. 



I. Je pars du développement suivant, qu'il est facile d'obtenir : 



0(x)0(«) ^^ ' \ — rf- 



m = <S 



» 2». ) I _ 

 l > fl C~"' 



écrivant ensuite la formule d'Ilermite 



(2 ) ^A ^ = 7 2 '/~^( ■ + 27-' + • • ■ + 27-'"") [e<^'" + »-.. _ e-.a:« + .),xj, 

 



je nuiltiplie ces deux équations membre à membre, et je cherche, dans le 

 second membre développé en série de Fourier (par rapporta la variable a;), 

 le terme indépendant de x. Si c^u est ce terme, on trouve 



(3) ,to=42^^ 2d*=°*^ — "■ 



V -0 



La seconde somme s'étend aux classes de formes quadratiques (binaires 

 et positives) de l'ordre propre et de discriminant 4 v + 3 ; ,•«, et m.^ désignent 

 les deux minima impairs {tn^'Sm.^) d'une quelconque de ces classes; la 

 première somme porte sur les valeurs entières de v, de o à -f- =0. 



D'autre part, si l'on multiplie membre à membre les équations classiques 

 (pii donnent les développements trigonométriques (en x) des fondions 



... H(.r)0,(x) ,,, 



(4) '"'^'^-Vôi) ''' H(a- + «), 



le terme indépendant de x, dans le développement du second membre, sera 

 '!„(■)(«), et Fou arrive ainsi à la formule 



(5) .\.„%{c^^^^q"\-i?^<lco^'la. 



