SÉANCE DU 21 FÉVRIER 191O. 433 



Laseconde somme s'étend aux décompositions 4 ^î + 3 = r/c/,, où deld, 

 sont entiers, positifs, avec d<^d^. 



Si Ton remplace maintenant cig par sa valeur (3) et si Ton égale les 



coefficients de q * dans les deux membres de ( j), on a 



(6) y^ (-i)''cos2/,a V cos "^'-'"^ a—.{- i)^^d cosda. 



/,=ii,±l.... '.N+3 — 4*" 



Au premier membre, la seconde somme s'étend aux classes de l'ordre 

 et de discriminant 4N + 3 — 4^', avec les significations ci-dessus pour 

 m, et m.,'^ la première s'étend aux valeurs entières de k, positives, nulles 

 ou négatives, telles toutefois que 4^ + 3 — 4^"' soit positif; au second 

 membre, la somme porte sur les décompositions ci-dessus de 4 JM +3. 



L'bypothèse f/ = o, introduite dans (6), conduit à une formule d'Hermite 

 sur les nombres de classes {^Lettre à Lioiwi/le), qui est une combinaison 

 de deux des formules classiques de Kronecker. 



L'bypotbèse « = 7 donne la formule 



t7> 1 (-0" 2 (^-^^\=(-)«V. î , 



où les notations s'expliquent comme celles de (G), et où ( - ) est le symbole 

 de Jacoiji pour /) impair. 



11 est à observer que (7), dans le cas de N impair, coïncide avec la for- 

 mule (VII) de Kronecker ; car les symboles de Jacobi qui figurent au 

 premier membre ont tous la valeur ( — 1)^, ainsi qu'on le reconnaît aisé- 

 ment; an contraire, pour N pair, la formule est nouvelle et ne semble pas 

 susceptible d'une simplification analogue. 



On peut donner à (6) une autre forme, en remplaçant, au premier 

 membre, le produit do deux cosinus par une somme de cosinus, et désignant 

 par o(./') provisoirement la fonction cosx: 



Celle formule, étant vérifiée pour ç (a;), l'est également, à cause de la 

 présence du paramètre a, quand on remplace ç( j?) par toute puissance 

 paire et positive de r, et, dès lors, par une fonction paire que/conque; car 

 M. Borel a établi qu'il existe une fonction entière de x prenant pour les 



