Y')\ ACAOlhlIK DES SCIENCES, 



valeurs entières de la vanahie les mêmes valeurs qu'une fonction donnée 

 ([uclconque. 



On peut donc écrire 



(S) V V (_ , )'■ [9(4 /,■ + nu- m,) + o(4 A- -+- m, - /«.,)] = 2(- i ^ V (h{2d), 



(p(m) étant une fonction paire quelconque de m, et qui n'a besoin d'ailleurs 

 d'être définie que pour les valeurs entières de la variable. 



La formule (8) donne de nombreuses conséquences, dont nous n'indique- 

 rons ici que deux : 



i" Les quantités qui y figurent sous le signe f sont des entiers de la 



forme 4A + 2 ; dès lors, on peut prendre pour '^(n) la fonction u(— i) * , cjui 

 est manifestement paire; on trouve ainsi la relation 



(9) !E ('"■2-'".)(-') * =2(-.)^V(--,) ■' riy 



iN+3-U-' 



que j'ai obtenue autrement dans ma Note du 21 octobre 1907. 



2" Si l'on prend cp(M) = u^, et si l'on exprime P à l'aide de la relation 

 qui donne le discriminant d'une forme en fonction des trois minima m,, m.,^ 

 m de cette forme (m est le minimum pair; m, et m.,, avec m, '^ m.,, sont les 

 deux minima impairs), on a : 



La somme au premier membre porte sur les minima des classes de l'ordre 

 propre de discriminant 4N + 3 — 4^'^i ^ prend ensuite les valeurs o, 

 ±1, ..., mais de telle sorte que 4N + 3 — 4'^"' soit positif; au second 

 membre, elle s'étend aux décompositions en facteurs f\?\ + 3 = dd^, 

 où d <^d,. 



Les formules (()) et (10) sont analogues à celles de Kronecker ; il y figure, 

 au lieu du nond)re des classes, certaines combinaisons des minima d'une 

 classe, et, aux seconds membres, des sommes de carrés ou de cubes de 

 diviseurs. 



IL Des calculs analogues conduiraient à la relation 



Nesl kK ■■ Mal 



