SÉANCE DU 21 FÉVRIER 1910. f\^i^^ 



vraie quel que soil a. La somme y s'étend aux classes (ordre propre) de 



discriminant 4N, et m,, m., sont (m, Srn^) les niinima impairs d'une quel- 

 conque de ces classes; au second membre, la seconde somme porte sur les 

 décompositions en facteurs N = rW, , avec d<d, et r/, r/, étant de même 

 parité. Passant des classes 4N aux classes N, on obtient, en égalant, dans 

 les deux membres de (i i), les coefficients de 7'*, la relation 



^ (— i)''cos2/>a 7 [cos(»j + /«2— "'il a + cos(m -!-//;, — /«,) «] 



rl + d. 



=r2^( — 1) ^ d cos 2 da, 



qu'on transformerait en y introduisant une fonction arbitraire. Il faut ob- 

 server que, si N est carré, le terme du second membre qui répond à la dé- 

 composition N = (/.d doit être divisé par 2 ; au premier membre, quand 

 N — >{- est un carré, soit A", la classe /ix'--hhy- ne compte que pour !,, 

 c'est-à-dire que les cosinus correspondants doivent être divisés par 2. 

 On déduirait de là, entre autres conséquences, la formule 



(12) V (_ ,)A[,„^_ /»(,/,, 4- /H,,) + (wfo — /«,)-] = 2V (— ,) - d'-id^ — d). 



III. Sans insister ici sur les relations analogues à (4) et (i i) ([u'on peut 

 encore obtenir, nous indiquerons des formules du même type que (10) 

 et (12 ), et que nous avons tirées des développements des fonctions 



^,,,HH,0,0; ,., HH,0,H' 



0, 



qui ne contiennent que la variable x, à l'exclusion du paramètre a. 

 Ce sont les suivantes. D'abord, 



(i3) V ,n^l^m,--m,)^[y^y^{èi,-Oi) + i^n\ 



8N — |2Â- + 1)' 



OÙ k prend les valeurs posithes o, i , . . ., de manière que 8N + (2^ -H i)- 

 soit positif; m, et m., sont les deux minima impairs {m, <im„) d'une classe 

 (ordre propre) de discriminant 8 N — (2^ -4- i)- ; au second membre, S; 

 Pt Sfl 8QPt deiij^ diviseurs conjugués de 2N, c'est-à-diro (|ue 2lV = §,i$o, 



