454 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Ce troisième type contient les deux cas suivants : • 



Premier cas. 



A5 := (7, ^3 — a, è, ^ o, 



((7,1)!, — a;A,)^o, a^b, — «363^0. 



DElXlfcME CAS. 



{a^b, — a, 64)^0, a,b3 — a^b^-O. 



Remarquons que ces derniers cas peuvent être ramenés à un seul de la 

 forme (2), si nous supposons que les constantes h et H puissent atteindre 

 leurs valeurs limites 



li — H = o et /( = H = + 00. 



Si la fonction p (x) reste positive dans (a, b) (ou négative), les nombres X/^ 

 sont aussi positifs (ou négatifs)-^ si p(x) change son signe, les nombres k^ 

 se décomposent en deux groupes dont l'un contient une infinité de nombres 

 caractéristiques négatifs, l' autre uneinfinité de nombres positif s . Les nombres'ki^ 

 satisfont toujours aux conditions | A^| ^ aÂ". 



ANALYSK MATHÉMATIQUE. — Sur les singularités des fonctions analytiques 

 uniformes. Note de M. D. Pompéiu, présentée par M. Painlevé. 



Dans une Note récente (Comptes rendus, 3 janvier 1910), M. Denjoy a fait, 

 au sujet de ma Communication du 6 décembre 190;), des observations aux- 

 quelles je demande la permission d'ajouter quelques éclaircissements. 



I. En gardant les notations de M. Denjoy, je vais montrer d'abord com- 

 ment, dans des cas très généraux, la nullité des I entraîne celle des J, quel 

 que soit l'ensemble E (quant à la sinuosité). 



Pour cela je prends un ensemble E borné, parfait, partout non dense 

 (sans points intérieurs), d'aire partout non nulle et tel que son ensemble 

 complémentaire soil d'un seul tenant. 



Sur cet ensemble E (ses points seront désignés par '( = ^ -f- iy]), je définis 

 une fonction fi'C), continue sur E et nulle en dehors de E, et je forme l'in- 

 t.égrale double 



