SÉANCE DU 2 1 FÉVRIER 1910. 455 



C'est la même intégrale double avec laquelle j'ai construit (Comptes 

 rendus, 28 novembre if)o4) le premier exemple d'une fonction analytique 

 partout continue. 



Je dis maintenant que si E est partout discontinu (d'après les propriétés 

 que je lui ai d'abord supposé, il peut aussi èlre d'un seul tenant), les inté- 

 grales I ne peuvent pas être toutes nulles. 



En effet, autour d'un point 'C, où Ç'(î^) 7^ o, on peut tracer un contour C 

 (évitant les points "() et tel que les parties réelle et imaginaire f gardent le 

 même signe pour tout point t contenu dans C. 



Cela posé, calculons [ : on obtient 





.[t)dM 



en commençant dans le second membre l'intégration par la variable s, et 

 désignant par (C) la région du plan contenue dans C. 



Ce résultat montre évidemment que les I ne peuvent pas être tous nuls, 

 et l'on voit que la sinuosité de l'ensemble E n'intervient point dans la dé- 

 monstration. 



Supposons maintenant que la fonction oÇC) soit discontinue sur E et 

 même qu'elle possède des zéros denses sur E. Dans ce cas, on peut avoir 

 recours à la sinuosité et prouver, comme l'a montré M. Denjoy lui-même, 

 que, lorsque la sinuosité est finie, la nullité des I entraîne celle des J. 



Mais ce cas et l'autre, plus délicat, où o est discontinue et la sinuosité de 

 E infinie, demandent un examen détaillé que je ne peux pas résumer ici. 



J'ai voulu seulement, par lexeinple donné, appuyer la conclusion sui- 

 vante : 



Si le cas d'exception, signalé par M. Denjoy, existe réellement, il est dû 

 non seulement à la nature (sinuosité) de l'ensemble E des points singuliers, 

 mais aussi à la nature même de la fonction analytique F(:;) qui admet ces 

 points de E comme points singuliers. 



II. D'ailleurs, dans ma Note du G décembre 1909, je n'avais introduit 

 les intégrales I que pour le cas où les intégrales plus générales J n'avaient 

 pas toutes un sens. Pour une fonction analytique partout continue, cette 

 difficulté ne se présente pas et alors ce sont les intégrales J que je consi- 

 dère, surtout parce que l'ensemble E peut être d'un seul tenant. 



La propriété des J me sert dans la représentation des fonctions F(::), 

 avec F'(:;) bornée, par des intégrales doubles. 



c. R., 1910, 1" Semestre. (T. 150, N° 8.) OI 



