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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équalions différentielles dont l'intégrale 

 générale, possède une coupure essentielle mobile. Note de M. Jean Cuazy, 

 présentée par M. Painlevé. 



(Joinnie je l'ai montré dans des Communications antérieures, Tintégrale 

 générale de cliacune des équations (*) 



(i) y'" = 1 yy" — 'i y" , 



(2) y"=27j"— 3/-+ ^g-^--^(6j'— y2)2 (« enlier>6), 



est uniforme dans une région limitée par une coupure rectiligne ou circu- 

 laire, variable avec les constantes d'intégration. Elle peut s'exprimer 

 comme suit. 



Soient l'équation hypergéométrique de Gauss 



'(' — 0-777+r-irT77 — 7-37T — TiP = o (" entier > 6 ou n=x). 



di- \2 i^y j dt 4 \3(i 



et deux intégrales distinctes de cette équation :;et:r,; l'équation j? = -i(/)! z{i) 

 définit une fonction de Schwarz /(ic), dont le triangle fondamental a 



comme angles -> -k-, -■> et cjui existe dans une région limitée par une cou- 

 pure rectiligne ou circulaire : l'intégrale générale de l'équation (2) ou (i) 

 est r (ic) = - -^; elle est définie et uniforme dans la même région. L'équa- 

 tion ( I ) admet l'intégrale particulière 



6 C 



y — 1 • 



.3- -H A (.c-i-A)-' 



son intégrale générale est holomorphe dans la région dans laquelle elle est 

 dcfitiie. L'équation (2) admet les intégrales particulières 



— 6 II — 6 /( + 6 



(J--+-A) 2(,.r-|-B)' 



sou intégrale générale est méromorphe dans la région dans laquelle elle 



est définie : elle admet les pôles de la fonction ^(r) comme pôles simples de 



, . , Il — 6 

 résidu 



(') Comptes rendus., 4 octobre 1909. 



