SÉANCE DU 21 FÉVRIER IQIO. 4^7 



Posons dans l'équation (i) y = " ~ — : la fonclion u satisfait à l'équa- 

 tion différentielle 



, ,„ 3n(n — 2) „„ 



(3) ««'^— (n — 2) iiu a -h -TT, ^^" =0 



^ ' ^ ' 3 {«+6) 



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dont l'intégrale générale est par suite u(x) = s""**; cette intégrale générale est 



définie de même d'un côté d'une droite, à l'intérieur ou à l'extérieur d'une 



circonférence. Elle est holomorpheen tout point de la région dans laquelle 



elle est définie, sauf en général au point x = cc. Les intégrales délinies à 



rintérieur de leur coupure, ou celles qui admettent une coupure recti- 



ligne, sont uniformes. Les intégrales définies à l'extérieur de leur coupure 



admettent en général le point a; = 00 comme point critique, et la coupure 



comme ligne critique : une détermination de ces intégrales, suivie le long 



d'un chemin qui tourne une fois autour de la coupure dans le sens direct, 



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 est multipliée par e '""; elles ont un nombre de branches égal au déno- 

 minateur de la fraction irréductible é"ale à — ^; comme les intégrales par- 



ticulières « = a?"'"", ;r'*""(a; -f- C), auxquelles elles se réduisent quand leur 

 coupure circulaire se réduit à un point. 



De même, l'intégrale générale de l'équation transformée de l'équation (i) 



en /r</;r = Y, 



Y"'=2Y'Y"'— 3Y"« 



est uniforme, si elle est définie à l'intérieur de sa coupure; si elle est définie 

 à l'extérieur, elle admet une infinité de déterminations, permutables autour 

 du point .c = oc et de la coupure, et différant d'un multiple de i2':ti', comme 



G 

 les déterminations de l'intégrale particulière Y ^ — 61og.r + -• 



La fonction u, rendue homogène de degré „ _" ; satisfait à l'équation aux 

 dérivés partielles remarquable 

 , d'il à' Il I d'il à^ Il .-, / d'' u Y 



x^ désignant une variable d'homogénéité pour n = 2, 3, 4i 5; les intégrales 

 de l'équation (3) sont des polynômes connus. 

 Si dans l'équation (2) on pose 



/i + 6 c' 



