où l'invariant 



SÉANCE DU 21 FEVRIER I910. 

 A = B-— 4AC — 4DE 



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est un nombre impair (non carré parfait), nécessairement alors de la forme 

 4 n -I- I, « étant un entier positif. 



M. Humbert ayant montré {Journal de Liowille, t. VI, 1900) que toute 

 relation singulière est équivalente à une relation singulière de même inva- 

 riant dans une transformation du premier ordre ordinaire, et ayant indiqué 

 comment on trouvait la transformation liant les deux i^elations, il nous 

 suffit de chercher les transformations d'IIermite d'ordre égal à ± r, laissant 

 inaltérée la relation 



d'invariant A = 4 « + i • 

 Soit 



h, h, 



d„ d, d-i d^ 



le déterminant, égal à + i, des coefficients de la transformation. 

 Posons 



ff = \/A — I ; p = \/A + I ; 



^c7^ — Y)p^ . £i7 + -pp , _ t, — -n 



g = 



les substitutions sur g, h, g' peuvent se ramener aux substitutions sur ^, y] 

 que nous indicjuons ci-dessous. Bien que la méthode et les calculs soient 

 considérablement simplifiés par une interprétation géométrique de la trans- 

 formation d'Hermite due à M. Humbert, nous ne pouvons les exposer dans 

 cette Note où nous nous bornerons à indiquer les résultats fondamentaux. 

 Les substitutions (S) sur (^, -q) sont de la forme 



(S) 

 (T) 



,;. / a^-t- a a'-q + b 

 ^''' '^' \ci-+-d' c'-n-hd' 



a, -n) 



c -n -+- d c' 'E^-h d' 



Les a, b,... désignent des nombres de la forme 



(i) M + Ny/Â, 



