46o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



M et N étant des entiers, ou de la forme 



(2) 



M M r-K 



1 — V^, 



M et N étant deux entiers impairs; d est le conjugué du nombre a, 

 obtenu en changeant y A en — y A et les déterminants ad — hc sont égaux 

 à ±1. 



Ces substitutions (S) et (T) forment un groupe dont les (S) sont un 

 sous-groupe invariant d'indice i. 



On voit que ce groupe renferme le groupe Picard-Bourget dans le cas où 

 le radical, dans celui-ci, porte sur un nombre de la forme \n -\- i ; il a des 

 propriétés analogues. Si l'on pose 



çi+';5, 



r,, + in-i. 



on a les conditions H^^o, V]2<Co, qu'on déduit des inégalités fondamen- 

 tales entre les parties imaginaires des périodes g^ A, g . Les substitutions 

 fondamentales du groupe sont 



(t, ï)), (ri, ^); (t, -fl), (-^, -n); (£,r,), (£-,,-/)-.) 

 (ï,r,), (-', -i); (£,r,), 



V^,,,_x.i_Vj^ 



(2,^0, 



VA 



y/A 





y/A 



dans cette dernière, a et c désignent la plus petite solution positive de 

 ["équation de Pell, 



a- — C-A rr: !\. 



Si les substitutions sur (E, yj) sont 1res voisines des substitutions obte- 

 nues dans le cas étudié par M. Picard, l'analogie ne se poursuit pas pour 

 les transformations d'Hermite laissant invariante la relation singulière 

 considérée. Ces transformations sont des deux types suivants : 



«0— '"^1 



(•■> — • nCi — Cj 



