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dans sa Thèse, un jeune doclcui- es sciences mathématiques, M. Vergne('), 

 ingénieur des Arts et Manufactures. 



Je me propose ici de réduire à sa plus simple expression cette démonstra- 

 tion de M. Vergne, en l'étendant pour cela, dans son esprit, au cas d'un 

 bassin limité quelconque. .le pourrai me borner aux ondes par émersion, au 

 calcul desquelles celui des ondes par impulsion se ramène, dans tous les 

 cas, en remplaçant simplement la fonction ç par sa dérivée relative au 

 temps t. 



II. Commençons par rappeler les équations fondamentales des ondes 

 dont il s'agit, produites au sein de la masse d'eau que limitent, supérieure- 

 ment, à l'élat de repos, le plan horizontal des cç^, et, inférieurement ou 

 latéralement, des parois fixes, rencontrées en un point (que nous supposerons 

 d'abord unique) par toute verticale descendante émanée de la surface 

 libre 3 = 0. 



L'axe des z étant dirigé vers le bas, le petit potentiel ç des vitesses, qu'il 

 faut déterminer, sur chacune de ces verticales, pour les valeurs de z com- 

 prises entre zéro (à très peu près) et l'ordonnée positive du point cor- 

 respondant du fond, est une fonction astreinte à vérifier l'équation de 

 Laplace A, a- = o (ou à être harmonique), et à avoir, de plus, contre toute 



paroi fixe, sa dérivée -^ dans le sens normal, nulle, mais, sur chaque élé- 

 ment de la surface libre ^ = 0, sa dérivée analogue -j^ égale , en tous les 

 instants / positifs, à sa dérivée seconde par rapport au temps, -j^' si l'on 



admet, comme nous le ferons pour simplifier, un choix d'unités de longueur 

 ou de temps qui fasse égale à i la gravilé g. A cette même surface libre ; = o, 



la dérivée -j- exprime d'ailleurs la \)eùlQ dénivellation h , abaissement actuel, 



sur la verticale (r, y), des molécules superficielles au-dessous de leur situa- 

 tion d'équilibre. 



Enfin, les conditions d'état initial sont, d'une part, que, pour / = o, les 

 vitesses s'aïuiulant partout, leur potentiel (p s'annule, tandis que, d'autre 



part, la surface d' émersion hg = /(a?, j) étant connue, la dérivée -jj reçoit 



alors, pour ; = o, des valeurs données f(x, y), nulles (ou se réduisant, du 



(') Conlribalioii à la théorie des ondes liquides (Paris, Gaulliier-\ illars, 1909), 

 p. 47 à 5o, 



