SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1910. 49,3 



moins, à une constante) liors de cette surface d'émersion, c'est-à-dire hors 

 de la région du plan des xy occupée primitivement par le solide émergé. 



III. Les équations ci-dessus, dilïérenliées un nombre quelconque ni de 

 fois en/, entraînent évidemment, pour toute dérivée de !p par rapport au 



temps, la relation A^ -j-— = o, avec les conditions -j- -7-^ = o (aux parois) 



et 



(i) — J- = -; r-^ (pour 5 = 0). 



Autrement dit, en premier lieu, la fonction -7—^ est harmonique, comme 

 le potentiel s, et vérifie aux parois la même relation monôme que ce poten- 

 tiel. Or il suit de là, comme on sait, que les valeurs de -7-^ à tous les ni- 

 veaux z seront entièrement déterminées par ses valeurs à la surface libre - = o 

 et que, par suite, leur dérivée en -, au niveau ^ = o ou à tout autre, en résul- 

 tera. Donc, en particulier, pour m= i, les valeurs initiales de la dérivée 



première -7^ r/«nî toiil le fluide, ainsi que leur dérivée en z pour ; = o, 

 dépendront des seules valeurs données / (x,y) de cette dérivée première, 

 relatives aussi à la surface z ^ o. 



En deuxième lieu, la condition (i) montre, si Ton y fait m = i, que celte 



connaissance des valeurs initiales de -77 au niveau ; = o v entraîne finale- 

 ment celle des valeurs initiales de -j^; d'où l'on déduira de même, en faisant 



successivement w = 3, = 5, = 7, . . ., les valeurs analogues, pour :; = o et 

 ensuite pour les divers niveaux z, de toutes les dérivées de zi en /, d'ordre 

 impair. 



Quant aux dérivées d'ordre pair, elles sont initialement nulles. En effet, 

 les valeurs initiales de ç étant données égales à zéro à la surface libre et, 

 par suite, dans tout le lluide, la dérivée de o en :; est alors nulle pour :; = o ; 

 et l'équation (i), prise avec fii = o, montre que la dérivée seconde de o en / 

 se trouve, dans le même cas, nulle aussi à la surface et, par suite, à tous les 

 niveaux :;.D'où Ton déduit, en faisant successivement m = 2, = 4) = 6? • • •» 

 que toutes les dérivées paires de çp en / ont, pareillement, zéro comme valeur 

 initiale dans tout le fluide. 



En résumé, le potentiel ^ des vitesses, considéré au point fixe quelconque 

 {x,y, z) du champ qu'occupe le fluide, a initialement loules ses dérivées par 

 rapport au temps t ou nulles, ou calculables à partir des seules valeurs qui 



