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soient données, f{oc,y'), de la dérivée première -^ à la surface s = o, 



pourvu qu'on sache, pour tout le rhajnp, à ordonnées ; positives, qu'occupe 

 le fluide, et qui est constamment le même (^à des écarts près négligeables, 

 infiniment petits, au voisinage du niveau z = o), intégrer l'équation 

 ^2 = des fonctions harmoniques, sous la condition d'obtenir, pour la 

 fonction chcrcbée, des valeurs arbitraires à la surface - = o, avec une dérivée 

 première partout nulle aux parois suivant le sens qui leur est normal. 



Si donc nous appelons cp^, ç'J, a- ,,,.,. les valeurs initiales, en (.r, y, a), 



de -j-, -TTi y^> • • • > ainsi calculées à pai tir de* /(a?, j), ces valeurs régleront 



la manière dont y naîtra la fonction cp; car, pour t assez petit, elles donne- 

 ront, en vertu de la formule de Mac-Laurin, 



avec une approximation indéfinie pourvu que 9^,, '^'„', '^'„, . . . soient finies et 

 ne s'annulent pas identiquement. Et si cette série converge quel que soit /, 

 elle constituera évidemment l'intégrale générale du problème ('). 



(•) Il peut être bon d'observer que, le plus souvent, les équations aux dérivées 



partielles déterminant dans l'état initial, comme il vient d'être dit, les dérivées — r— 7) 



d'ordre impair, en fonction de leurs valeurs à la surface 5 zn o, s'intégreront par des 

 sortes d'intégrales définies du genre des potentiels d'atlraction, qui exprimeront ainsi 

 chacune de ces dérivées et aussi, par suite (en les diflérentiant), sa propre dérivée 

 première en z pour ^ =; o, à partir de laquelle se fera de même le calcul analogue de la 

 dérivée impaire suivante. Or il résulte de là que les valeurs initiales des dérivées 

 impaires successives de 9 contiendront, dans leur expression, des nombres de plus en 

 plus grands de signes/, ou qu'elles constitueront des intégrales définies ayant leur 

 degré de multiplicité de plus en plus élevé. Donc le calcul elfectif des termes de la 

 série (2) obtenue pour représenter le potentiel 9 des vitesses exigera, généralement, 

 de plus en plus d'intégrations à mesure que s'élèvera leur rang: ce sera une série dans le 

 genre de celles qu'Emile Mathieu, le premier ou l'un des premiers, a données pour 

 exprimer l'équilibre d'élasticité du parallélépipède rectangle, et avec lesquelles se 

 familiarisent actuellement les géomètres, à la suite de Fredholm et de M. Vollerra, 

 mais sans avoir pu encore, ce semble, aboutir au calcul e^'ecij/ d'aucun résultat (numé- 

 rique) nouveau, ni même, d'une manière générale, à l'élucidation purement théorique 

 du cas fréquent où se présente, à la frontière du corps étudié, une discontinuité soit 

 géoméliique, telle qu'un sommet ou une arête, soit seulement physique, dans le genre 

 par exemple d'une annulation de vitesse avec changement de direction. El il conti- 



