SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1910. Sop 



les ti'avaux et les idées de M. Lebesgue; je voudrais montrer aujourd'hui 

 comment on peut rattacher simplement cette définition à mes premières 

 recherches sur la mesure des ensembles; j'en profiterai pour préciser 

 quelques points dans la construction des intetralles d'exclusion gIt^ouv en 

 déduire une condition très générale d'intégrahilité des fonctions non bornées. 

 Je ne m'occuperai aujourd'hui que des fonctions d'une seule variable. 



Je rappelle d'abord, sous la forme primitive que je lui avais donnée dans 

 ma Thèse (1894), le théorème fondamental sur lequel est basée la théorie : 

 Si l'on a sur une droite une m///»Ve (dénombrable) d'intervalles partiels, tels 

 que tout point de la droite soit intérieur à l'un au moins des intervalles, on 

 peut déterminer effectivement un nombue limité d'intervalles choisis parmi les 

 intervalles donnés et ayant la même propriété. De ce théorème on déduit la 

 consiruction générale des ensembles que j'ai appelés mesurables et la défi- 

 nition de la mesure pour ces ensembles ('). En particulier, un ensemble qui 

 peut être enfermé dans une infinité (dénombrable) d'intervalles de lon- 

 gueur totale aussi petite que l'on veut de mesure mille. De ces définitions 

 et du théorème fondamental on déduit aisément le théorème suivant : 



Etant donnés, dans un domaine limité, une infinité (dénombrable) 

 d' ensembles mesurables tels que la mesure de chacun d'eux ne soit pas inférieure 

 à T, les points communs à une infinité d'entre eux forment un ensemble dont 

 la mesure n'est pas inférieure à o- (-); théorème dont la conséquence immé- 

 diate est que : la propriété pour une fonction d'être continue en excluant des 

 ensembles de mesure aussi petite que l'on l'eut se conserve à la limite ('). En 

 d'autres termes, étant donnée une série convergente de fonctions continues 

 (non uniformément convergente), on peut déterminer des intervalles d'exclu- 

 sion d'étendue totale aussi petite que l'on veut et tels que la fonction définie 

 par la série soit continue lorsqu'on néglige ces intervalles. On en conclut 



(') La mesure d'un intervalle esl sa longueur; la mesure d'un ensemble formé par 

 la réunion d'ensembles sans partie commune (en nombre fini ou infini) esl la somme 

 des mesures; la mesure de la diflerence de deux ensembles, dont l'un est entièrement 

 intérieur à l'autre, est la difTérence des mesures; si un ensemble quelconque esl inté- 

 rieur à UQ ensemble mesurable, sa mesure esl inférieure ou égale à celle de l'en- 

 semble mesurable ; la mesure n'est jamais négative. L'utilité du ihéorème fondamental 

 est de prouver que ces définitions ne peuvent pas entraîner de contradiction {Leçons 

 sur la théorie des fonctions, Cliap. III, tSgS). 



(^) Un théorème sur tes ensembles mesurables {Comptes rendus, t. CXXXVII, 

 17 décembre igoS, p. 966). 



{') Ibid., p. 967. 



