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que celle fonction est inlégrable, avec la définition de ma précédente Note, 

 dans le domaine ol)tenu en faisant abstraction de ces intervalles d'exclusion. 

 Si la fonction est bornée, l'intégrale tend évidemment vers une limite lorsque 

 la somme des intervalles d'exclusion tend vers zéro. Il en résulte (jue toute 

 fonction bornée limite de fonctions continues est intégrable et ce résultat 

 s'étend sans peine aux fonctions bornées limites des fonctions précédentes, 

 et ainsi de suite, c'est-à-dire à toutes les fonctions bornées qui peuventêtre 

 définies analytiquement. Les résultats précédents équivalent à des résultats 

 obtenus par M. Lebesgue; ceux cjui suivent me paraissent nouveaux. 



Si la fonction limite de fonctions continues n'est pas bornée, il est des cas 

 où elle n'est pas intégrable; citons comme exemple la fonction 



/(.r) --=1 



„ = » I H- n-r" 



Il faut donc ajouter une condition supplémentaire; nous l'énoncerons 

 brièvement en disant que les pà/es doivent être d'ordre inférieur à l unité, ce 

 qui nous permettra de considérer aussi des séries de fonctions discontinues 

 intégrables, pourvu que ces séries soient convergentes e/i gênera/, c'est-à-dire 

 que l'ensemble des points de divergence soit de mesure nulle. 



La seule précaution à prendre est la suivante : il ne suffit pas que la 

 somme des intervalles d'exclusion tende vers zéro lorsqu'on fait varier 

 l'ensemble de ces intervalles; il faut encore avoir soin, dans chaque choix 

 particulier que l'on fait de ces intervalles, d'assujettir leur décroissance 

 asymptotique à ne pas être trop rapide. Précisons ce point. On dit, en gé- 

 néral, qu'un poinl a est un pôle d'ordre au plus égal à a pour une fonction 

 f{x) lorsque, en excluant un intervalle d'étendue £, la fonction est infé- 

 rieure en valeur absolue à Aï""", A étant un nombre fixe. On dira de même 

 qu'un ensemble dénomhrable de pôles est d'ordre au plus égal à a lorsquon 

 pourra //.ter une loi de décroissance asymptotique des intervalles d'e.velusion(') 

 telle que, si l'on multiplie tous ces intervalles par un nombre arbitrairement 

 petit £, la fonction soit inférieure en valeur absolue à Kt'" . Tel est le cas 

 pour la fonction que je citais dans ma dernière Note : 



L'ordre a est ici -; l'intervalle d'exclusion correspondant à a„ peut être 

 pris égal à —^ • 



(') hien entendu, les longueurs de ces intervalles forment une série convergente. 



