SÉANCE DU 28 FÉVRIER 1910. 5ll 



On arrive dès lors à la conclusion générale suivante : toute fonction d'une 

 variable réelle définissable analyliquement estintégrable lorsque l'ordre maxi- 

 mum de ses pôles est un nombre inférieur à un. Le cas où l'intervalle d'inté- 

 gration s'étend à l'infini se ramène au cas de l'intervalle fini par un change- 

 ment de variable. On sait que, si l'ordre d'un pôle est égal ou supérieur à i 

 et si la fonction ne change pas de signe une infinité de fois dans le voisinage 

 de ce pôle, elle n'est pas intégrable. Le seul cas douteux nouveau qui reste- 

 rait à étudier est celui d'une infinité dénombrable de pôles dont les ordres 

 seraient tous inférieurs à i, mais ne seraient inférieurs à aucun nombre 

 plus petit que i. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les solutions asymptotiques des équations 

 dij^érenlielles . Note de M. Emile Coxpon, présentée par M. Emile 

 Picard. 



Les lignes suivantes contiennent une démonstration nouvelle du théorème 

 d'existence des solutions asymptotiques ('), basée sur des hypothèses moins 

 restrictives que celles faites habituellement. La méthode suivie est celle des 

 approximations successives de M. Picard, mais elle est appliquée après 

 transformation des équations différentielles en des équations intégrales conve- 

 nablement choisies. Cet artifice augmente beaucoup la puissance de la 

 méthode et peut être avantageusement employé dans d'autres parties de la 

 théorie des équations différentielles (-). 



i. Soit S une solution d'un système 2 d'équations différentielles, qui 

 reste régulière lorsque la variable indépendante t croit de zéro à -l- ce 

 (nous nous limitons aux éléments réels). Supposons que le système d'équa- 

 tions aux variations relatif à S et S appartienne à la classe des systèmes 

 réductibles de M. Liapounoff (Mémoire cité n° 10 et Note du n° 18). On 

 peut alors, par un choix convenable des fonctions inconnues a;,, .Tj, . . ., .r„, 

 ramener S k x^ = x.,= . . . = ,t„ = o, et les équations aux variations à des 



(') Voir : PoiNCARÉ, Les mélliodes nouvelles de la Mécanique céleste, l. I, 

 Chap. VII; Picard, Traité d'Analyse^ t. III, Chap. VIII; le Mémoire de Liapounoff, 

 Sur la stabilité du mouvement, traduit par M. Davaux, Annales de Toulouse, 1908. 



('•') On peut, par exemple, interpréter de celte façon la méthode d'approximations 

 employée par M. Bendixon dans l'étude des points singuliers. Pour le cas élémentaire, 

 où l'arc de caractéristique cherché est fini et régulier, voir un article du B illetin de 

 la Société mathématique de France. 



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